设A，B都是n阶正定矩阵，P为n×m矩阵，证明：PT(A＋B)P正定的充分必要条件是r(P)＝m．

admin2014-12-09 66

问题设A，B都是n阶正定矩阵，P为n×m矩阵，证明：P^T(A＋B)P正定的充分必要条件是r(P)＝m．

选项

答案因为[P^T(A+B)P]^T＝P^T(A^T＋B^T)(P^T)^T＝P^T(A十B)P．所以P^T(A＋b)P为实对称矩阵. 设P^T(A＋B)P正定，则P^T(A＋B)P为m阶可逆矩阵，即，r[P^T(A＋B)P]＝m，由矩阵秩的性质得r[p^T(A＋B)P]≤r(P)．所以r(P)≥m，显然r(P)≤m，所以r(P)＝m．设r(P)＝m．对任意的X≠0，X^T[P^T)(A＋B)PX＝(PX)^T(A＋B)(PX)．令PX＝y．显然Y≠0，因为若Y＝0，由r(P))＝m，得χ＝0，矛盾，所以Y≠0．于是X^T[P^T(A＋B)P]X＝Y^TAY＋Y^TBY．因为A，B都是正定矩阵，所以Y^TAY＞0且Y^TBY＞0，于是X^T[P^T(A＋B)P]X＞0，即P^T(A＋B)P为正定矩阵．

解析

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考研数学二

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设A，B都是n阶正定矩阵，P为n×m矩阵，证明：PT(A＋B)P正定的充分必要条件是r(P)＝m．

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