已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．

admin2013-04-04 78

问题已知4阶方阵A=(α₁，α₂，α₃，α₄)，α₁，α₂，α₃，α₄均为4维列向量，其中α₂，α₃，α₄线性无关，α₁=2α₂-α₃．如果β=α₁+α₂+α₃+α₄，求线性方程组Ax=β的通解．

选项

答案由α₂，α₃，α₄线性无关及α₁=2α₂-α₃知，向量组的秩r(α₁，α₂，α₃，α₄)=3，即矩阵A的秩为3．因此Ax=0的基础解系中只包含一个向量．那么由 (α₁，α₂，α₃，α₄)[*]=α₁-2α₂+α₃=0. 知，Ax=0的基础解系是（1，-2,1,0）^T 再由β=α₁+α₂+α₃+α₄=(α₁，α₂，α₃，α₄)[*]知，（1.1.1.1）^T是Ax=β的一个特解，故Ax=β的通解是[*]，其中k为任意常数.

解析方程组的系数没有具体给出，应当从解的理论及解的结构人手来求解．

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考研数学一

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