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设f(0)=g(0),f′(0)=g′(0),f″(x)<g″(x)(当x>0时),证明当x>0时,f(x)<g(x).
设f(0)=g(0),f′(0)=g′(0),f″(x)<g″(x)(当x>0时),证明当x>0时,f(x)<g(x).
admin
2016-11-03
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问题
设f(0)=g(0),f′(0)=g′(0),f″(x)<g″(x)(当x>0时),证明当x>0时,f(x)<g(x).
选项
答案
令F(x)=g(x)一f(x),则 F(0)=0, F′(0)=0, F″(x)>0. 由拉格朗日中值定理得到 F(x)=F(x)一F(0)=xF′(ξ
1
),0<ξ
1
<x, F′(ξ
1
)=F′(ξ
1
)一F′(0)=ξ
1
F″(ξ
2
),0<ξ
2
<ξ
1
, 则 F(x)=xF′(ξ
1
)=xξ
1
F″(ξ
2
). 因F″(x)>0,x>0,ξ
1
>0,故F(x)>0,即f(x)<g(x).
解析
作辅助函数F(x)=g(x)一f(x),则F(0)=0,F′(0)=0.利用此条件对F(x)使用拉格朗日中值定理证之.
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考研数学一
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