设A，B均为n阶矩阵，且A+B=AB．(1)证明A-E可逆；(2)证明AB=BA．

admin2018-11-11 56

问题设A，B均为n阶矩阵，且A+B=AB．(1)证明A-E可逆；(2)证明AB=BA．

选项

答案证明 (1)由A+B=AB，有AB-A-B+E=E，从而(A-E)B-(A-E)=E，即(A-E)(B-E)=E，故A-E可逆，且(A-E)^-1=B-E． (2)由(1)可知，A-E与B-E互为逆矩阵，于是由逆矩阵的定义知 (A-E)(B-E)=(B-E)(A-E)，从而AB-A-B+E=BA-B-A+E．即 AB=BA．

解析

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