证明：当x＞0时，∫0x(t一t2)sin2ntdt≤。

admin2020-03-05 29

问题证明：当x＞0时，∫₀^x(t一t²)sin²ⁿtdt≤

。

选项

答案设φ(x)=∫₀^x(t一t²)sin²ⁿtdt，由φ’(x)=(x一x²)sin²ⁿx=0，得x=1，x=kπ(k=1，2，…)。因为当x∈(0，1)时，φ’(x)＞0；当x＞1时，φ’(x)≤0。所以x=1为函数φ(x)=∫₀^x(t一t²)sin²ⁿtdt 在(0，+∞)上的最大值点，最大值为 M=φ(1)=∫₀¹(t—t²)sin²ⁿtdt≤∫₀¹(t—t²)t²ⁿdt=∫₀¹(t²ⁿ⁺¹—t²ⁿ⁺²)=[*]，故∫₀^x(t—t²)sin2ntdt≤[*]。

解析

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考研数学一

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