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  3. 证明：当x＞0时，∫0x(t一t2)sin2ntdt≤。

证明：当x＞0时，∫0x(t一t2)sin2ntdt≤。

admin2020-03-05  16
问题 证明：当x＞0时，∫0x(t一t2)sin2ntdt≤。
选项
答案设φ(x)=∫0x(t一t2)sin2ntdt，由φ’(x)=(x一x2)sin2nx=0，得x=1，x=kπ(k=1，2，…)。 因为当x∈(0，1)时，φ’(x)＞0；当x＞1时，φ’(x)≤0。所以x=1为函数φ(x)=∫0x(t一t2)sin2ntdt 在(0，+∞)上的最大值点，最大值为 M=φ(1)=∫01(t—t2)sin2ntdt≤∫01(t—t2)t2ndt=∫01(t2n+1—t2n+2)=[*]， 故∫0x(t—t2)sin2ntdt≤[*]。
解析
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考研数学一

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