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设A为n阶可逆矩阵,α为n维列向量,b为常数,记分块矩阵P=其中A*是A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵. (Ⅰ)计算并化简PQ; (Ⅱ)证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b.
设A为n阶可逆矩阵,α为n维列向量,b为常数,记分块矩阵P=其中A*是A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵. (Ⅰ)计算并化简PQ; (Ⅱ)证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b.
admin
2019-03-21
37
问题
设A为n阶可逆矩阵,α为n维列向量,b为常数,记分块矩阵P=
其中A
*
是A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.
(Ⅰ)计算并化简PQ;
(Ⅱ)证明矩阵Q可逆的充分必要条件是α
T
A
-1
α≠b.
选项
答案
(Ⅰ)由AA
*
=A
*
A=|A|E 及A
*
=|A|A
-1
有 [*] (Ⅱ)用拉普拉斯展开式及行列式乘法公式,有 [*] =|A|
2
(b-α
T
A
-1
α). 因为矩阵A可逆,行列式|A|≠0,故|Q|=|A|(b-α
T
A
-1
α). 由此可知,Q可逆的充分必要条件是b-α
T
A
-1
α≠0,即α
T
A
-1
α≠b.
解析
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0
考研数学二
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