设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵P=其中A*是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵． (Ⅰ)计算并化简PQ； (Ⅱ)证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．

admin2019-03-21 42

问题设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵P=

其中A^*是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．
(Ⅰ)计算并化简PQ；
(Ⅱ)证明矩阵Q可逆的充分必要条件是α^TA^-1α≠b．

选项

答案(Ⅰ)由AA^*=A^*A=｜A｜E 及A^*=｜A｜A^-1有 [*] (Ⅱ)用拉普拉斯展开式及行列式乘法公式，有 [*] =｜A｜²(b-α^TA^-1α)．因为矩阵A可逆，行列式｜A｜≠0，故｜Q｜=｜A｜(b-α^TA^-1α)．由此可知，Q可逆的充分必要条件是b-α^TA^-1α≠0，即α^TA^-1α≠b．

解析

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考研数学二

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