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[2017年] 设二阶可导函数f(x)满足f(1)=f(一1)=1,f(0)=一1,且f"(x)>0,则( )
[2017年] 设二阶可导函数f(x)满足f(1)=f(一1)=1,f(0)=一1,且f"(x)>0,则( )
admin
2019-04-05
68
问题
[2017年] 设二阶可导函数f(x)满足f(1)=f(一1)=1,f(0)=一1,且f"(x)>0,则( )
选项
A、∫
1
-1
f(x)dx>0
B、∫
1
-1
f(x)dx<0
C、∫
0
-1
f(x)dx>∫
1
0
f(x)dx
D、∫
0
-1
f(x)dx<∫
1
0
f(x)dx
答案
B
解析
结合题干和选项,可选取x∈(一1,0)和x∈(0,1)讨论,由于函数f(x)
二阶可导,且f"(x)>0,可知f(x)在x∈(一1,1)内连续,故f(x)dx=∫
0
-1
f(x)dx+∫
1
0
f(x)dx.另一种方法是选取特殊函数进行求解.
解一 在x∈(0,1)内,记G(x)=
,则G'(x)=
,而
=f'(ξ),ξ∈(0,1),所以G(x)在(0,1)内递增,G(x)<G(1),即f(x)<2x一1,
x∈(0,1),∫
1
0
f(x)dx<∫
1
0
(2x—1)dx=0.
同理,当x∈(一1,0)时,∫
0
-1
f(z)dx<0.
故∫
1
-1
f(x)dx=∫
0
-1
f(x)dx+∫
1
0
f(x)dx<0.仅(B)入选.
解二 取特殊函数法.选取符合题设条件的函数,
f(x)=2x
2
一l,显然∫
1
-1
f(x)dx<0(见图1.2.1.1中阴影部分).
由图1.2.1.1还可知,
∫
0
-1
f(x)dx=∫
1
0
f(x)dx,排除(C)和(D).
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0
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