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设向量组α1，α2线性无关，向量β1可由α1，α2线性表出，而β2不能由α1，α2线性表出．证明：向量组α1，α2，β1，β2线性无关．
设向量组α1，α2线性无关，向量β1可由α1，α2线性表出，而β2不能由α1，α2线性表出．证明：向量组α1，α2，β1，β2线性无关．
admin
2018-08-22
14
问题
设向量组α
1
，α
2
线性无关，向量β
1
可由α
1
，α
2
线性表出，而β
2
不能由α
1
，α
2
线性表出．证明：向量组α
1
，α
2
，β
1
，β
2
线性无关．
选项
答案
设有常数k
1
，k
2
，k
3
，使得k
1
α
1
＋k
2
α
2
＋k
3
(β
1
＋β
2
)＝0， (1) 已知β
1
可由α
1
，α
2
线性表出，令β
1
1＝c
1
α
1
＋c
2
α
2
，代入(1)式，有 k
1
α
1
＋k
2
α
2
＋k
3
(c
1
α
1
＋c
2
α
2
＋β
2
)＝0，即 (k
1
＋k
3
c
1
)α
1
＋(k
2
＋k
3
c
2
)α
2
k
3
β
2
＝0，(2) 又已知β
2
不能由α
1
，α
2
线性表出，故k
3
＝0， 此时(2)式化为k
1
α
1
＋k
2
α
2
＝0，而α
1
，α
2
线性无关，只能有k
1
＝k
2
＝0． 从而仅当k
1
＝k
1
＝k
3
＝0时，(1)式才能成立， 因此向量组α
1
，α
2
，β
1
＋β
2
线性无关．
解析
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本试题收录于：
线性代数（经管类）题库公共课分类
0
线性代数（经管类）
公共课
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