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  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)·f(b) >0 试证：对存在点ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=kf(ξ)．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)·f(b) >0 试证：对存在点ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=kf(ξ)．

admin2020-03-05  22
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)·f(b) >0 试证：对存在点ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=kf(ξ)．
选项
答案令F(x)=e－kxf(x)，则由题设可知，F(x)在[a，b]上连续．不妨假定 f(a)>0，于是有 f(b)>0，[*] 由e－kx＞0可知，F(a)0，[*]F(b)>0，由介值定理，存在点[*]使得F(x1)=F(x2)=0．所以F(x)在[x1，x2]上连续，在(x1，x2)内可导，且F(x1)=F(x2)=0．由洛尔定理，存在点ξ∈(x1，x2)[*](a，b)，使得F’(ξ)=0，即e－kξ[f’(ξ)一 f(ξ)]=0，故有 f’(ξ)一kf(ξ)=0．
解析 欲证存在点ξ∈(a，b)，使得 f’(ξ)一 kf(ξ)=0，即e－kξ[f’(ξ)一kf(ξ)]=0，即 [e－kxf(x)]’｜x=ξ=0．
可作辅助函数：F(x)=e－kxf(x)，用介值定理和洛尔定理证明．
本题所构造的辅助函数F(x)=e－kxf(x)，不满足洛尔定理的第三个条件．于是利用介值定理再次构造使用洛尔定理的辅助区间[x1，x2]，从而为用洛尔定理解决问题提供了条件．
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考研数学一

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