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[2006年] 设f(x,y)与φ(x,y)均为可微函数,且φ′y(x,y)≠0.已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件φ(x,y)=0下的一个极值点,下列选项正确的是( ).
[2006年] 设f(x,y)与φ(x,y)均为可微函数,且φ′y(x,y)≠0.已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件φ(x,y)=0下的一个极值点,下列选项正确的是( ).
admin
2021-01-19
39
问题
[2006年] 设f(x,y)与φ(x,y)均为可微函数,且φ′
y
(x,y)≠0.已知(x
0
,y
0
)是f(x,y)在约束条件φ(x,y)=0下的一个极值点,下列选项正确的是( ).
选项
A、若f′
x
(x
0
,y
0
)=0,则f′
y
(x
0
,y
0
)=0
B、若f′
x
(x
0
,y
0
)=0,则f′
y
(x
0
,y
0
)≠0
C、若f′
x
(x
0
,y
0
)≠0,则f′
y
(x
0
,y
0
)=0
D、若f′
x
(x
0
,y
0
)≠0,则f′
y
(x
0
,y
0
)≠0
答案
D
解析
利用拉格朗日函数F(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)在(x
0
,y
0
,λ
0
)(λ
0
是
对应x
0
,y
0
,的参数λ的值)取得极值的必要条件揭示出f(x,y)的偏导数之间的关系.
由拉格朗日乘数法,得
消去λ,得f′
x
(x
0
,y
0
)φ′
y
(x
0
,y
0
)一f′
y
(x
0
,y
0
)φ′
x
(x
0
,y
0
)=0.因φ′
y
(x
0
,y
0
)≠0,故
f′
x
(x
0
,y
0
)=
因而当f′
x
(x
0
,y
0
)≠0时,必有f′
y
(x
0
,y
0
)≠0.仅(D)入选.
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考研数学二
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