设f(x)在[a，b]上连续（a＜b），且f(x)＞0。证明方程。

admin2015-07-15 21

问题设f(x)在[a，b]上连续（a＜b），且f(x)＞0。证明方程

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选项

答案证明：①令F(x)=∫_a^xf(t)dt+[*]，根据积分上限函数的性质知，F(x)在[a，b]上连续且可导。又F(a)=∫_a^af(t)dt+[*]<0，(f(x)>0) F(b)=∫_a^bf(t)dt+[*]=∫_a^bf(t)dt＞0，(f(x)>0) ∴由零点定理知，方程F(x)=0在(a，b)内至少有一实根。 ②又F’(x)=f(x)+[*]>0，于是F(x)在(a，b)内单调递增，F(x)在(a，b)内与x轴至少有一个交点，即方程F(x)=0在(a，b)内至少有一个实根。故由①、②知，方程∫_a^xf(t)dt+[*]=0在(a，b)内有且仅有一个实根。

解析

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