设矩阵A＝(aij)m×n的秩为R(A)＝m﹤n，Em为m阶单位矩阵，则下述结论中正确的是( )．

admin2020-06-05 30

问题设矩阵A＝(a_ij)_m×n的秩为R(A)＝m﹤n，E_m为m阶单位矩阵，则下述结论中正确的是( )．

选项 A、A的任意m个列向量必线性无关
B、A的任意一个m阶子式不等于零
C、A通过初等行变换，必可以化为(E_m︰0)的形式
D、非齐次线性方程组Ax＝b一定有无穷多解

答案D

解析选项(A)，(B)显然不正确，将其中的“任意”都改为“存在”，结论才正确．对于矩阵A，只通过初等行变换是不能保证将其化为等价标准形

的，故(C)也不正确，因而(D)入选．
事实上，由于A有m行且R(A)＝m﹤n，因此

≥R(A)＝m．又

≤min(m，n＋1)＝m，故

＝R(A)＝m﹤n，从而该非齐次线性方程组一定有无穷多解．

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