设A为3阶方阵，且有3个相异的特征值λ1，λ2，λ3，对应的特征向量依次为α1,α2,α3，令β=α1+α2+α3，证明：β，Aβ，A2β线性无关．

admin2019-03-21 32

问题设A为3阶方阵，且有3个相异的特征值λ₁，λ₂，λ₃，对应的特征向量依次为α₁,α₂,α₃，令β=α₁+α₂+α₃，证明：β，Aβ，A²β线性无关．

选项

答案因为Aα_i=λ_iα_i(i=1，2，3)，则Aβ=A(α₁+α₂+α₃) =Aα₁+Aα₂+Aα₃ =λ₁α₁+λ₂α₂+λ₃α₃，A²β=A(Aβ) =A(λ₁α₁+λ₂α₂+λ₃α₃) =λ₁²α₁+λ₂²α₂+λ₃²α₃．设存在常数k₁，k₂，k₃，使k₁β+k₂Aβ+k₃A²β=0，进而得(k₁+k₂λ₁+k₃λ₁²)α₁+(k₁+k₂λ₂+k₃λ₂²)α₂+(k₁+k₂λ₃+k₃λ₃²)α₃=0．由于α₁,α₂,α₃线性无关，于是有[*]其系数行列式[*] 故k₁=k₂=k₃=0，所以，β，AB，A²β线性无关．

解析本题考查方阵不同的特征值对应的特征向量是线性无关的性质和向量组线性相关性的证明．

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考研数学二

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设A为3阶方阵，且有3个相异的特征值λ1，λ2，λ3，对应的特征向量依次为α1,α2,α3，令β=α1+α2+α3，证明：β，Aβ，A2β线性无关．

考研数学二

设f(x，y)为连续函数，则等于()

过曲线y=x2(x≥0)上某点A作一切线，使之与曲线及x轴围成图形面积为，求：(Ⅰ)切点A的坐标；(Ⅱ)过切点A的切线方程；(Ⅲ)由上述图形绕x轴旋转的旋转体的体积．

设f(x)=，(Ⅰ)若f(x)处处连续，求a，b的值；(Ⅱ)若a，b不是(Ⅰ)中求出的值时f(x)有何间断点，并指出它的类型．

已知α1=(1，1，0，2)T，α2=(－1，1，2，4)T，α3=(2，3，a，7)T，α4=(－1，5，－3，a+6)T，β=(1，0，2，b)T，问a，b取何值时，(Ⅰ)β不能由α1，α2，α3，α4线性表示?(Ⅱ)β能用α1，α2，α3，α4线性表

设A为n阶正交矩阵，α和β都是n维实向量，证明：(1)内积(α，β)=(Aα，Aβ)．(2)长度‖Aα‖=‖α‖．

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3，向量α1=(－1，2，－1)T，α2=(0，－1，1)T都是齐次线性方程组AX=0的解．(1)求A的特征值和特征向量．(2)求作正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QTAQ=Λ．(3)求A及[A－(3／2)E]6．

设函数f(x)在(一∞，+∞)上有定义，在区间[0，2]上,f(x)=x(x2一4)，若对任意的x都满足f(x)=kf(x+2)，其中k为常数。问k为何值时,f(x)在x=0处可导。

设矩阵求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．

假设函数f(x)和g(x)在[a，b]上存在二阶导数，并且g’’(x)≠0，f（A）=f（B）=g(a)=g(b)=0，试证：在开区间(a，b)内g(x)≠0；

设y＝y(χ)二阶可导，且y′≠0，χ＝χ(y)是y＝y(χ)的反函数．(1)将χ＝χ(y)所满足的微分方程＝0变换为y＝y(χ)所满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)＝0，y′(0)＝的解．

In1752,threeyearsaftertwoScotsmen,AlexanderWilsonandThomasMelville,fastenedthermometerstokitestorecordthetemp

在溶组织内阿米巴感染者的诊断方法中，以下哪种方法只能用于辅助诊断，而不能确诊

某女，22岁。症见身热烦渴，四肢倦怠，胸闷呕恶、大便不爽，其致病的邪气是

下列行为属于即时性强制的是：()

质量管理体系的管理评审是由()最高管理者关于质量管理体系现状及其对质量方针和目标的适宜性、充分性和有效性所作的正式评价。

某啤酒生产企业在大型超市进行市场调查，了解家庭购买啤酒的品牌、购买量和购买者的信息，该企业市场调查的内容属于对()的调查。

秭归正面有一大片铁青色礁石，______耸立江面。填入划横线部分最恰当的一项是()。

下列叙述中正确的是()。

EllaSantiagohadtoovercomeavarietyof______whenshedecidedtoopenherowntravelagencyafewyearsago.

ItwasmusictomyearstohearthattheGovernment’schiefadviseron【C1】,SusanJebb,wantsparentsto【C2】fruitj

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过曲线y=x2(x≥0)上某点A作一切线，使之与曲线及x轴围成图形面积为，求：(Ⅰ)切点A的坐标；(Ⅱ)过切点A的切线方程；(Ⅲ)由上述图形绕x轴旋转的旋转体的体积．

设f(x)=，(Ⅰ)若f(x)处处连续，求a，b的值；(Ⅱ)若a，b不是(Ⅰ)中求出的值时f(x)有何间断点，并指出它的类型．

已知α1=(1，1，0，2)T，α2=(－1，1，2，4)T，α3=(2，3，a，7)T，α4=(－1，5，－3，a+6)T，β=(1，0，2，b)T，问a，b取何值时，(Ⅰ)β不能由α1，α2，α3，α4线性表示?(Ⅱ)β能用α1，α2，α3，α4线性表

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设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3，向量α1=(－1，2，－1)T，α2=(0，－1，1)T都是齐次线性方程组AX=0的解．(1)求A的特征值和特征向量．(2)求作正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QTAQ=Λ．(3)求A及[A－(3／2)E]6．

设函数f(x)在(一∞，+∞)上有定义，在区间[0，2]上,f(x)=x(x2一4)，若对任意的x都满足f(x)=kf(x+2)，其中k为常数。问k为何值时,f(x)在x=0处可导。

设矩阵求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．

假设函数f(x)和g(x)在[a，b]上存在二阶导数，并且g’’(x)≠0，f（A）=f（B）=g(a)=g(b)=0，试证：在开区间(a，b)内g(x)≠0；

设y＝y(χ)二阶可导，且y′≠0，χ＝χ(y)是y＝y(χ)的反函数．(1)将χ＝χ(y)所满足的微分方程＝0变换为y＝y(χ)所满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)＝0，y′(0)＝的解．

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秭归正面有一大片铁青色礁石，______耸立江面。填入划横线部分最恰当的一项是()。

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