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设A,B是n阶实对称可逆矩阵,则存在n阶可逆矩阵P,使得下列关系式 ①PA=B; ②P-1ABP=BA; ③P-1AP=B; ④PTA2P=B2 成立的个数是( ).
设A,B是n阶实对称可逆矩阵,则存在n阶可逆矩阵P,使得下列关系式 ①PA=B; ②P-1ABP=BA; ③P-1AP=B; ④PTA2P=B2 成立的个数是( ).
admin
2021-07-27
45
问题
设A,B是n阶实对称可逆矩阵,则存在n阶可逆矩阵P,使得下列关系式
①PA=B;
②P
-1
ABP=BA;
③P
-1
AP=B;
④P
T
A
2
P=B
2
成立的个数是( ).
选项
A、1
B、2
C、3
D、4
答案
C
解析
逐个分析关系式是否成立.
①式成立.因为A,B均是n阶可逆矩阵,故存在可逆矩阵Q,W,使QA=E,WB=E(可逆矩阵可通过初等行变换化为单位矩阵),故有QA=WB,W
-1
QA=B.记W
-1
Q=P,则有PA=B成立,故①式成立.
②式成立.因为A,B均是n阶可逆矩阵,可取P=A,则有A
-1
(AB)A=(A
-1
A)BA=BA,故②式成立.
③式不成立.因为A,B均是n阶实对称矩阵,它们均可以相似于对角矩阵,但不一定相似于同一个对角矩阵,即A,B不一定相似.对任意可逆矩阵P,均有P
-1
AP=P
-1
EP=E≠B,故③式不成立.
④式成立.因为A,B均是实对称可逆矩阵,其特征值均不为零,A
2
,B
2
的特征值均大于零.故A
2
,B
2
的正惯性指数为n(秩为n,负惯性指数为0),故A
2
合同于B
2
,即存在可逆矩阵P,使得P
T
A
2
P=B
2
,故④式成立.由以上分析,故应选(C).
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/jQy4777K
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考研数学二
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