首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,f(0)=0,0<f’(x)<1(x∈(0,1)),求证: [∫01f(x)dx]2>∫01f3(x)dx.
设f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,f(0)=0,0<f’(x)<1(x∈(0,1)),求证: [∫01f(x)dx]2>∫01f3(x)dx.
admin
2018-06-27
31
问题
设f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,f(0)=0,0<f’(x)<1(x∈(0,1)),求证:
[∫
0
1
f(x)dx]
2
>∫
0
1
f
3
(x)dx.
选项
答案
即证[∫
0
1
f(x)dx]
2
-∫
0
1
f
3
(x)dx>0.考察F(x)=[f(t)dt]
2
-∫
0
x
f
3
(t)dt, 若能证明F(x)>0(x∈(0,1])即可.这可用单调性方法. 令F(x)=[∫
0
π
f(t)dt]
2
-∫
0
x
f
3
(t)dt,易知F(x)在[0,1]可导,且 F(0)=0,F’(x)=f(x)[2∫
0
x
f(t)dt-f
2
(x)]. 由条件知,f(x)在[0,1]单调上升,f(x)>f(0)=0(x∈(0,1]),从而F’(x)与g(x)=2∫
0
x
f(t)dt-f
2
(x)同号.再考察 g’(x)=2f(x)[1-f’(x)]>0(x∈(0,1)), g(x)在[0,1]连续,于是g(x)在[0,1]单调上升,g(x)>g(0)=0(x∈(0,1]),也就有F’(x)>0(x∈(0,1]),即F(x)在[0,1]单调上升,F(x)>F(0)=0(x∈(0,1]).因此 F(1)=[∫
0
1
f(x)dx]
2
-∫
0
1
f
3
(x)dx>0. 即结论成立.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/jZk4777K
0
考研数学二
相关试题推荐
已知A是3阶矩阵,αi(i=1,2,3)是3维非零列向量,若Aαi=iαi(i=1,2,3),令α=α1+α2+α3证明:α,Aα,A2α线性无关;
已知当x→0时f(x)=tanx一ln(1+sinx)与kxn是等价无穷小量,则
设且B=P-1AP.求矩阵A的特征值与特征向量;
设y的n-2阶导数,求y的n阶导数y(n).
(2009年试题,一)若f’’(x)不变号,且曲线y=f(x)在点(1,1)上的曲率圆为x2+y2=2,则f(x)在区间(1,2)内().
设函数y(x)(x≥0)二阶可导,且y’(x)>0,y(0)=1.过曲线y=y(x)上任一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[*]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并设2S1-S2恒为1
设其中E是n阶单位阵,α=[a1,a2,…,an]T≠0.计算A2,并求A-1;
设z=f(χ,y)满足,由z=f(χ,y)可解出y=y(z,χ).求:(Ⅰ);(Ⅱ)y=y(z,χ).
一容器的内侧是由图中(如图1—3—6)曲线绕y轴旋转一周而成的曲面,该曲线由连接而成。求容器的容积;
某批产品中有口件正品,6件次品.(1)用放回抽样方式从中抽取n(n≤a+b)件产品,问其中恰有k(k≤n)件次品的概率p1;(2)用不放回抽样方式从中抽取n件产品,问其中恰有k(k≤n)件次品的概率p2;(3)依次将产品一件件取出,求第k次取出正品的概率p
随机试题
女性,21岁。反复尿频、尿急、尿痛2年,加重伴肉眼血尿、发热2天。治疗措施错误的是
小儿单纯性肥胖症严重者可引起()
2002年7月,某港资企业投资2.7亿元人民币与内地某市自来水公司签订合作合同,经营该市污水处理。享有规章制定权的该市政府为此还专门制定了《污水处理专营管理办法》,对港方作出一系列承诺,并规定政府承担污水处理费优先支付和差额补足的义务,该办法至合作期结束时
下列居住区内地面排水方式的选择,哪类地段宜采用暗沟排水?[2008年第74题]
下列术语中,不属于显示器性能指标的是( )。
邮包运输保险的责任终止期限是在货物运抵保险单所载明的目的地邮局,由邮局签发到货通知书当日午夜起算满()为止。
2017年1月1日,甲公司向乙公司借款100万元,借款期限为1年(2017年1月1日至2017年12月31日),双方未约定借期内是否支付利息,也未约定逾期利率。应债权人乙公司的要求,丙公司以其挖掘机为该笔借款提供了抵押担保,2017年1月8日双方签订了书面
下列关于信息的说法中,正确的是()。
(2013年真题)甲乘坐公交公司司机乙驾驶的公交车时,公交车与一私家车相撞,甲受伤致残。经认定,该起交通事故应由乙负全部责任。对此,下列选项中,不正确的有
第一台PC机问世以来,出现了多种类型的PC机系统总线(I/O总线),目前PC机中使用最多的是( )。
最新回复
(
0
)