求曲线x=acos3t，y=asin3t绕直线y=x旋转一周所得曲面的面积

admin2016-10-26 24

问题求曲线x=acos³t，y=asin³t绕直线y=x旋转一周所得曲面的面积

选项

答案如图3．30，曲线关于y=±x对称，只需考察t∈[*]一段曲线．现在没有现成的公式可用．用微元法导出旋转面的面积公式．任取曲线的小微元，端点坐标为(x(t)，y(t))=(acos³t，asin³t)，它到直线y=x的距离为l(t)=[*] [*] 曲线微元的弧长ds=[*]dt=3a｜sintcost｜dt，它绕y=x旋转所得曲面微元的面积为ds=2πl(t)ds=2π[*].3a｜sintcost｜dt，因此整个旋转面的面积为 [*]

解析

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考研数学一

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2
设f(x)在(－∞，+∞)上可导，(1)若f(x)为奇函数，证明fˊ(x)为偶函数；(2)若f(x)为偶函数，证明fˊ(x)为奇函数；(3)若f(x)为周期函数，证明fˊ(x)为周期函数．
(1)设F(x)＝f(-x)，且f(x)有n阶导数，求F(n)(x)；(2)设f(x)＝xe-x，求f(n)(x)．
求下列函数的导数：
证明f(x)＝x－[x]在(－∞，+∞)上是有界周期函数．
已知向量组α1=(t，2，1)，α2=(2，t，0)，α3=(1，-1，1)，试讨论：t为何值时，向量组α1，α2，α3线性相关?
(2005年试题，19)设函数φ(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分的值恒为同一常数．求函数φ(y)的表达式．
设F(x，y)在点(x0，y0)某邻域有连续的偏导数，F(x0，y0)=0，则Fy’(x0，y0)≠0是F(x，y)=0在点(x0，y0)某邻域能确定一个连续函数y=y(x)，它满足y0=y(x0)，并有连续的导数的____________条件．
求曲面x2+(y一1)2=1介于xOy平面与曲面(x2+y2)之间的部分的面积．

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