设A为n阶实矩阵，AT为A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)AX=0和(Ⅱ)ATAX= 0必有( )

admin2013-08-30 51

问题设A为n阶实矩阵，A^T为A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)AX=0和(Ⅱ)A^TAX= 0必有( )

选项 A、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解
B、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解
C、(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解
D、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解

答案B

解析若x_i是AX=0的解，即Ax_i=0，显然A^TAx_i=0；
若x_i是A^TAX=0的解，即A^TAx_i=0，则x_i^TA^TAx_i=0，即(Axi_i)^T(Ax_i)=0．
若Ax_i≠0，不妨设Ax_i=(b₁，b₂，…，b_n)^T，b≠0，则(Ax_i)^T(Ax_i)=

，
与(Ax_i)^T(Ax_i)=0矛盾，因而Ax_i=0，即(Ⅰ)、(Ⅱ)同解．故应选(B)。

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