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  3. 设A为n阶实矩阵，AT为A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)AX=0和(Ⅱ)ATAX= 0必有( )

设A为n阶实矩阵，AT为A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)AX=0和(Ⅱ)ATAX= 0必有( )

admin2013-08-30  49
问题 设A为n阶实矩阵，AT为A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)AX=0和(Ⅱ)ATAX= 0必有(    )
选项 A、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解
B、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解
C、(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解
D、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解
答案B
解析 若xi是AX=0的解，即Axi=0，显然ATAxi=0；
  若xi是ATAX=0的解，即ATAxi=0，则xiTATAxi=0，即(Axii)T(Axi)=0．
  若Axi≠0，不妨设Axi=(b1，b2，…，bn)T，b≠0，则(Axi)T(Axi)=，
与(Axi)T(Axi)=0矛盾，因而Axi=0，即(Ⅰ)、(Ⅱ)同解．故应选(B)。
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考研数学一

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