2. 考研
  3. 设3元实二次型f(x)=xTAx经正交变换x=Cy化成f(x)=y12+y22． 是Ax=0的解向量． (1)求所用的正交变换x=Cy； (2)求A； (3)写出该实二次型f(x)的表达式．

设3元实二次型f(x)=xTAx经正交变换x=Cy化成f(x)=y12+y22． 是Ax=0的解向量． (1)求所用的正交变换x=Cy； (2)求A； (3)写出该实二次型f(x)的表达式．

admin2019-05-11  61
问题 设3元实二次型f(x)=xTAx经正交变换x=Cy化成f(x)=y12+y22．

是Ax=0的解向量．
(1)求所用的正交变换x=Cy；
(2)求A；
(3)写出该实二次型f(x)的表达式．
选项
答案(1)由二次型f(x)=xTAx经正交变换x=Cy化成f(x)=y12+y22知λ1=λ2=1和λ3=0是A的3个特征值，再由α是Ax=0的解向量知α是A的0特征值对应的特征向量．若设特征值λ1=λ2=1所对应的特征向量为x，则有xα=0，即x2一x3=0，解之得[*] 其中k1，k2是不同时为0的任意常数．于是得λ1=λ2=1所对应的特征向量． 取 [*]
解析 本题考查用正交变换化二次型为标准形的逆问题．
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考研数学二

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