设3元实二次型f(x)=xTAx经正交变换x=Cy化成f(x)=y12+y22．是Ax=0的解向量． (1)求所用的正交变换x=Cy； (2)求A； (3)写出该实二次型f(x)的表达式．

admin2019-05-11 81

问题设3元实二次型f(x)=x^TAx经正交变换x=Cy化成f(x)=y₁²+y₂²．

是Ax=0的解向量．
(1)求所用的正交变换x=Cy；
(2)求A；
(3)写出该实二次型f(x)的表达式．

选项

答案(1)由二次型f(x)=x^TAx经正交变换x=Cy化成f(x)=y₁²+y₂²知λ₁=λ₂=1和λ₃=0是A的3个特征值，再由α是Ax=0的解向量知α是A的0特征值对应的特征向量．若设特征值λ₁=λ₂=1所对应的特征向量为x，则有xα=0，即x₂一x₃=0，解之得[*] 其中k₁，k₂是不同时为0的任意常数．于是得λ₁=λ₂=1所对应的特征向量．取 [*]

解析本题考查用正交变换化二次型为标准形的逆问题．

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考研数学二

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设3元实二次型f(x)=xTAx经正交变换x=Cy化成f(x)=y12+y22．是Ax=0的解向量． (1)求所用的正交变换x=Cy； (2)求A； (3)写出该实二次型f(x)的表达式．

考研数学二

设函数f(χ)在区间[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)＋f(1)＋f(2)＝3，f(3)＝1．证明：存在ξ∈(0，3)，使得f′(ξ)＝0．

设f(u)可导，y＝f(χ2)在χ0＝－1处取得增量△χ＝0．05时，函数增量△y的线性部分为0．15，则f′(1)＝_______．

求不定积分∫cos(lnχ)dχ．

设f(χ)在(－∞，＋∞)内可微，且f(0)＝0，又f′(lnχ)＝求f(χ)的表达式．

设D＝{(χ，y)｜0≤χ≤1，0≤y≤1}，直线l：χ＋y＝t(t≥0)，S(t)为正方形区域D位于l左下方的面积，求∫0χS(t)dt(χ≥0)．

考虑二次型f＝χ12＋4χ22＋4χ32＋2λχ1χ2－2χ1χ3＋4χ2χ3，问λ取何值时，f为正定二次型?

设A为n阶矩阵，α1，α2，α3为n维列向量，其中α1≠0，且Aα1＝α1，Aα2＝α1＋α2，Aα3＝α2＋α3，证明：α1，α2，α3线性无关．

设直线y＝aχ与抛物线y＝χ2所围成的图形面积为S1，它们与直线χ＝1所围成的图形面积为S2，且a＜1．(1)确定a，使S1＋S2达到最小，并求出最小值；(2)求该最小值所对应的平面图形绕χ轴旋转一周所得旋转体的体积．

设f(χ)二阶连续可导且f(0)＝f′(0)＝0，f〞(χ)＞0．曲线y＝f(χ)上任一点(χ，f(χ))(χ≠0)处作切线，此切线在χ轴上的截距为u，求．

曲线y=x2+x(x＜0)上曲率为的点的坐标是_________．

尿浓缩稀释试验主要是检查

企业内部控制设计的主要原则不包括(　　)。

县域城镇体系规划由()负责组织编制。

有关人格权，错误的说法是（）。

孔子是我国古代伟大的思想家、教育家，儒家学派创始人，世界最著名的文化名人之一。下列不是孔子名言的是()。

从正态总体N(3．4，62)中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间(1．4，5．4)内的概率不小于0．95，问样本容量n至少应取多大?

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