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[2001年] 设α1，α2，…，αs为线性方程组AX=0的一个基础解系： β1=t1α1+t2α2， β2=t1α2+t2α3， …， βs=t1αs+t2α1，其中t1，t2为实常数．试问t1，t2满足什么关系时，β1，β2，…，βs也
[2001年] 设α1，α2，…，αs为线性方程组AX=0的一个基础解系： β1=t1α1+t2α2， β2=t1α2+t2α3， …， βs=t1αs+t2α1，其中t1，t2为实常数．试问t1，t2满足什么关系时，β1，β2，…，βs也
admin
2019-05-10
35
问题
[2001年] 设α
1
，α
2
，…，α
s
为线性方程组AX=0的一个基础解系：
β
1
=t
1
α
1
+t
2
α
2
， β
2
=t
1
α
2
+t
2
α
3
， …， β
s
=t
1
α
s
+t
2
α
1
，其中t
1
，t
2
为实常数．试问t
1
，t
2
满足什么关系时，β
1
，β
2
，…，β
s
也为AX=0的一个基础解系．
选项
答案
为证β
1
，β
2
，…，β
s
为AX=0的基础解系，需证β
1
，β
2
，…，β
s
为AX=0的解，且β
1
，β
2
，…，β
s
线性无关，s=n一秩(A)．其关键是要证明β
1
，β
2
，…，β
s
线性无关． 由α
1
，α
2
，…，α
s
为AX=0的基础解系知，s=n一秩(A)，因β
1
，β
2
，…，β
s
均为α
1
，α
2
，…，α
s
的线性组合，而α
1
，α
2
，…，α
s
又为AX=0的解，根据齐次方程解的性质知，β
i
(i=1，2，…，s)为AX=0的解．下面证β
1
，β
2
，…，β
s
线性无关，给出两种证法． 证一 设k
1
β
1
+k
2
β
2
+…+k
s
β
s
=0，即 (t
1
k
1
+t
2
k
s
)α
1
+(t
2
k
1
+t
1
k
2
)α
2
+(t
2
k
2
+t
1
k
3
)α
3
+…+(t
2
k
s-1
+t
1
k
s
)α
s
=0． 由于α
1
，α
2
，…，α
s
线性无关，于是得 [*]① 因方程组①的系数矩阵的行列式为 [*]=t
1
s
+(一1)
s+1
t
2
． 故当t
1
s
+(一1)
s+1
t
2
s
≠0时，方程组①只有零解k
1
=k
2
=…一k
s
=0，从而β
1
，β
2
，…，β
s
线性无关，即当S为偶数时，t
1
≠±t
2
，s为奇数，当t
1
≠一t
2
时，β
1
，β
2
，…，β
s
线性无关，从而β
1
，β
2
，…，β
s
也为AX=0的一个基础解系． 证二 由命题2．3．2．4知，当t
1
s
+(一1)
s+1
t
2
≠0时，β
1
，β
2
，…，β
s
线性无关．即得：当s为偶数，t
1
≠±t
2
；当s为奇数，t
1
≠一t
2
时，β
1
，β
2
，…，β
s
线性无关，从而β
1
，β
2
，…，β
s
，也为AX=0的一个基础解系．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/kVV4777K
0
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