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设函数Q(x,y)在平面xOy上具有一阶连续偏导数,曲线积分∫L2xydx+Q(x,y)dy与路径无关,并且对任意t恒有∫(0,0)(t,1)2xyydx+Q(x,y)dy=∫(0,0)(1,t)2xydx+Q(x,y)dy,求Q(x,y).
设函数Q(x,y)在平面xOy上具有一阶连续偏导数,曲线积分∫L2xydx+Q(x,y)dy与路径无关,并且对任意t恒有∫(0,0)(t,1)2xyydx+Q(x,y)dy=∫(0,0)(1,t)2xydx+Q(x,y)dy,求Q(x,y).
admin
2016-01-15
79
问题
设函数Q(x,y)在平面xOy上具有一阶连续偏导数,曲线积分∫
L
2xydx+Q(x,y)dy与路径无关,并且对任意t恒有∫
(0,0)
(t,1)
2xyydx+Q(x,y)dy=∫
(0,0)
(1,t)
2xydx+Q(x,y)dy,求Q(x,y).
选项
答案
根据曲线积分和路径无关的条件,可知 [*] 因此有Q(x,y)=x
2
+C(y)成立,其中C(y)为待定函数 又因为 ∫
(0,0)
(t,1)
2xydx+Q(x,y)dy=∫
0
1
[t
2
+C(y)]dy=t
2
+∫
0
1
C(y)dy, ∫
(0,0)
(1,t)
2xydx+Q(x,y)dy=∫
0
t
[t
2
+C(y)]dy=t
2
+∫
0
t
C(y)dy, 由已知可知 t
2
+∫
0
1
C(y)dy=t+∫
0
t
C(y)dy, 两边对t求导可得2t=1+C(t),即C(y)=2y一1,因此有 Q(x,y)=x
2
+2y一1.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/kWw4777K
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考研数学一
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