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设α,β为3维列向量,矩阵A=ααT+ββT,其中αT,βT分别是α,β的转置,证明: (1)r(A)≤2 (2)若α,β线性相关,则r(A)<2。
设α,β为3维列向量,矩阵A=ααT+ββT,其中αT,βT分别是α,β的转置,证明: (1)r(A)≤2 (2)若α,β线性相关,则r(A)<2。
admin
2019-06-30
12
问题
设α,β为3维列向量,矩阵A=αα
T
+ββ
T
,其中α
T
,β
T
分别是α,β的转置,证明:
(1)r(A)≤2 (2)若α,β线性相关,则r(A)<2。
选项
答案
(1)因为α,β为3维列向量,那么αα
T
,ββ
T
都是3阶矩阵,且r(αα
T
)≤1 r(ββ
T
)≤1, 故r(A)=r(αα
T
+ββ
T
)≤r(αα
T
)+r(ββ
T
)≤2 (2)若α,β线性相关,在存在不全为0的实数k
1
,k
2
,使得k
1
α+k
2
β=0。 不妨设k
2
≠0,则有β=kα, 那么r(A)=r[αα
T
+(kα)(kα)
T
]=r[(1+k
2
)αα
T
]=r(αα
T
)≤1<2。
解析
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本试题收录于:
经济类联考综合能力题库专业硕士分类
0
经济类联考综合能力
专业硕士
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