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  3. 已知矩阵A=(aij)n×n(n≥2)的秩为n一1，求A的伴随矩阵A*的特征值和特征向量．

已知矩阵A=(aij)n×n(n≥2)的秩为n一1，求A的伴随矩阵A*的特征值和特征向量．

admin2021-01-15  1
问题 已知矩阵A=(aij)n×n(n≥2)的秩为n一1，求A的伴随矩阵A*的特征值和特征向量．
选项
答案由A*A=｜A｜E=O，知A的n一1个线性无关的列向量都是方程组A*X=0的解向量，即λ=0至少是A*的n一1重特征值，而上述n一1个列向量即为对应的线性无关的特征向量．又由全部特征值之和等于A11+A22+…+Ann(Aij为aij的代数余子式)，故A*的第n个特征值为[*]Akk，由r(A*)=1，故A*的列成比例，不妨设A11≠0，则有常数k2，…，kn，使 [*] 于是A11+A22+…+Ann=A11+k2A12+…+knA1n，且有 [*] 可推知(A11+A12+…+A1n)T为A*的对应于特征值[*]Akk的特征向量．
解析
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考研数学一

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