设矩阵A＝ (1)若A有一个特征值为3，求a； (2)求可逆矩阵P，使得PTA2P为对角矩阵．

admin2019-06-28 53

问题设矩阵A＝

(1)若A有一个特征值为3，求a；
(2)求可逆矩阵P，使得P^TA²P为对角矩阵．

选项

答案(1)｜λE－A｜＝(λ²－1)[λ²－(a＋2)λ＋2a－1]，把λ＝3代入上式得a＝2，于是 [*] (2)由｜λE－A²｜＝0得A^*的特征值为λ₁＝λ₂＝λ₃＝1，λ₄＝9．当λ＝1时，由(E－A²)X＝0得α₁＝(1，0，0，0)^T，α₂＝(0，1，0，0)^T，α₃＝(0，0，－1，1)^T；当λ＝9时，由(9E－A²)X＝0得α₄＝(0，0，1，1)^T．将α₁，α₂，α₃正交规范化得β₁＝(1，0，0，0)^T，β₂(0，1，0，0)^T，β₃＝[*]，将α₄规范化得β₄＝[*]．令P＝(β₁，β₂，β₃，β₄)＝[*]，则P^TA²P＝[*]

解析

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