设p(x)，q(x)与f(x)均为连续函数，f(x)≠0．设y1(x)，y2(x)与y3(x)是二阶非齐次线性方程 y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x) ① 的3个解，且则式①的通解为______．

admin2019-02-23 100

问题设p(x)，q(x)与f(x)均为连续函数，f(x)≠0．设y₁(x)，y₂(x)与y₃(x)是二阶非齐次线性方程
y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x) ①
的3个解，且

则式①的通解为______．

选项

答案y=C₁(y₁－y₂)+C₂(y₂－y₃)+y₁，其中C₁，C₂为任意常数

解析由非齐次线性方程的两个解，可构造出对应的齐次方程的解，再证明这样所得到的解线性无关即可．
y₁－y₂与y₂－y₃均是式①对应的齐次线性方程
y’’+p(x)y’+q(x)y=0 ②
的两个解．今证它们线性无关．事实上，若它们线性相关，则存在不全为零的常数k₁与k₂使
k₁(y₁－y₂)+k₂(y₂－y₃)=0． ③
设k₁≠0，又由题设知y₂－y₃≠0，于是式③可改写为

矛盾．
若k₁=0，由y₂－y₃≠0，故由式③推知k₂=0矛盾．这些矛盾证得y₁－y₂与y₂－y₃线性无关．
于是
y=C₁(y₁－y₂)+C₂(y₂－y₃) ④
为式②的通解，其中C₁，C₂为任意常数，从而知
y=C₁(y₁－y₂)+C₂(y₂－y₃)+y₁ ⑤
为式①的通解．

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/l904777K

考研数学一

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设p(x)，q(x)与f(x)均为连续函数，f(x)≠0．设y1(x)，y2(x)与y3(x)是二阶非齐次线性方程 y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x) ① 的3个解，且则式①的通解为______．

考研数学一

如果数列{xn}收敛，{yn}发散，那么{xnyn}是否一定发散?如果{xn}和(yn}都发散，那么{xnyn}的敛散性又将如何?

计算(x2+y2+z2)dS，其中S为锥面z2=x2+y2介于z=0及z=1之间的部分．

设函数f(x)在x＝1的某邻域内有定义，且满足｜f(x)－2ex｜≤(x一1)2，研究函数f(x)在x＝1处的可导性．

设f(lnx)=求∫f(x)dx．

求下列级数的和：

设g(x)在x=0的某邻域内连续，且已知在x=0处连续，求a,b．

若函数f(c)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)=f(1)=0，f’’(x)＜0，且f(x)在[0，1]上的最大值为M．求证：(Ⅰ)f(x)＞0(x∈(0，1))；(Ⅱ)自然数n，存在唯一的xn∈(0，1)，使得．

函数在点M0(1，1，1)处沿曲面2z=x2+y2在点M0处外法线方向n的方向导数=______．

设有向量场A＝2χ3yzi－χ2y2zi－χ2yz2k，则其散度divA在点M(1，1，2)处沿方向n＝(2，2，－1)的方向导数＝_______。

设f(x，y)=(x一6)(y+8)，求函数f(x，y)在点(x，y)处的最大的方向导数g(x，y)，并求g(x，y)在区域D={(x，y)|x2+y2≤25)上的最大值与最小值．

巡回护士的具体工作不包括

关于会计凭证的保管，以下说法正确的是()。

下列不属于金融债券的是()。

银行市场定位的步骤是()。

企业标准体系的构成，是以()为主体。

．()(1)ab=1．(2)a2一3a+1=0，b2一3b+1=0．

Helicobacterpyloriisoneofhumanity’soldestandclosestcompanions,andyetittookscientistsmorethanacenturytorecogn

Ms.Merkellistenedcarefully______shemightdiscoverexactlywhatthelittleboywanted.

设p(x)，q(x)与f(x)均为连续函数，f(x)≠0．设y1(x)，y2(x)与y3(x)是二阶非齐次线性方程 y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x) ① 的3个解，且 则式①的通解为______．

考研数学一

如果数列{xn}收敛，{yn}发散，那么{xnyn}是否一定发散?如果{xn}和(yn}都发散，那么{xnyn}的敛散性又将如何?

计算(x2+y2+z2)dS，其中S为锥面z2=x2+y2介于z=0及z=1之间的部分．

设函数f(x)在x＝1的某邻域内有定义，且满足｜f(x)－2ex｜≤(x一1)2，研究函数f(x)在x＝1处的可导性．

设f(lnx)=求∫f(x)dx．

求下列级数的和：

设g(x)在x=0的某邻域内连续，且已知在x=0处连续，求a,b．

若函数f(c)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)=f(1)=0，f’’(x)＜0，且f(x)在[0，1]上的最大值为M．求证：(Ⅰ)f(x)＞0(x∈(0，1))；(Ⅱ)自然数n，存在唯一的xn∈(0，1)，使得．

函数在点M0(1，1，1)处沿曲面2z=x2+y2在点M0处外法线方向n的方向导数=______．

设有向量场A＝2χ3yzi－χ2y2zi－χ2yz2k，则其散度divA在点M(1，1，2)处沿方向n＝(2，2，－1)的方向导数＝_______。

设f(x，y)=(x一6)(y+8)，求函数f(x，y)在点(x，y)处的最大的方向导数g(x，y)，并求g(x，y)在区域D={(x，y)|x2+y2≤25)上的最大值与最小值．

巡回护士的具体工作不包括

关于会计凭证的保管，以下说法正确的是()。

下列不属于金融债券的是()。

银行市场定位的步骤是()。

企业标准体系的构成，是以()为主体。

．()(1)ab=1．(2)a2一3a+1=0，b2一3b+1=0．

Helicobacterpyloriisoneofhumanity’soldestandclosestcompanions,andyetittookscientistsmorethanacenturytorecogn

Ms.Merkellistenedcarefully______shemightdiscoverexactlywhatthelittleboywanted.

设p(x)，q(x)与f(x)均为连续函数，f(x)≠0．设y1(x)，y2(x)与y3(x)是二阶非齐次线性方程 y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x) ① 的3个解，且则式①的通解为______．