设二次型f=xTAx=ax12+2x22一x32+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵A满足AB=O．其中B= 用正交变换化二次型f为标准形；

admin2020-10-21 54

问题设二次型f=x^TAx=ax₁²+2x₂²一x₃²+8x₁x₂+2bx₁x₃+2cx₂x₃，矩阵A满足AB=O．其中B=

用正交变换化二次型f为标准形；

选项

答案二次型f的矩阵A=[*] 由AB=O，知λ₁=0是矩阵A的特征值。B的列向量α₁=(1，0，1)^T是A的特征值λ₁=0对应的特征向量．所以Aλ₁=λ₁α，即 [*] 由｜2E一A｜=[*]=λ(λ一6)(λ+6)=0，得矩阵A的特征值为λ₁=0，λ₂=6，λ₃=—6．当λ₂=6时，由(6E—A)x=0，得A的特征值λ₂=6对应的特征向量α₂=(1，2，一1)^T；当λ₃=一6时，由(一6E—A)x=0，得A的特征值λ₃=一6对应的特征向量α₃=(一1，1，1)^T．将α₁，α₂，α₃单位化，得 [*] 取P=(η₁，η₂，η₃)=[*]，则P是正交矩阵，且 P^-1AP=P^TAP=A=[*] 令x=Py，则x=Py即为所求正交变换，从而 f=x^TAx=y^T(p^TAP)y=6y₂²一6y₃²，即为二次型f的标准形．

解析

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考研数学二

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