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  3. 设三阶矩阵A=(α1，α2，α3)有三个不同的特征值，且α3=α1+2α2。 证明：r(A)=2：

设三阶矩阵A=(α1，α2，α3)有三个不同的特征值，且α3=α1+2α2。 证明：r(A)=2：

admin2022-08-12  95
问题 设三阶矩阵A=(α1，α2，α3)有三个不同的特征值，且α3=α1+2α2。
证明：r(A)=2：
选项
答案设矩阵A的特征值为λ1，λ2，λ3(λ1≠λ2≠λ3)，则存在可逆矩阵P使得A=P-1diag(λ1，λ2，λ3)P，所以r(A)=r(diag(λ1，λ2，λ3))，因为λ1≠λ2≠λ3，所以r(diag(λ1，λ2，λ3))≥2，即r(A)≥2，又α3=α1+2α2，也就是α1，α2，α3线性相关，所以r(A)＜3。因此r(A)=2。
解析
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