设函数f(x)在[0，1]二阶可导，且f(0)=f′(0)=f′(1)=0，f(1)=1．求证：存在ξ∈(0，1)，使｜f″(ξ)｜≥4．

admin2016-10-26 30

问题设函数f(x)在[0，1]二阶可导，且f(0)=f′(0)=f′(1)=0，f(1)=1．求证：存在ξ∈(0，1)，使｜f″(ξ)｜≥4．

选项

答案把函数f(x)在x=0与x=1分别展开成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，得 f(x)=f(0)+f′(0)x+[*]f″(ξ₁)x² (0＜ξ₁＜x)， f(x)=f(1)+f′(1)(x－1)+[*]f″(ξ₂)(x－1)²(x＜ξ₂＜1)．在公式中取x=[*]并利用题设可得 [*] 两式相减消去未知的函数值[*]即得f″(ξ₁)－f″(ξ₂)=8 [*]｜f″(ξ₁)｜+｜f″(ξ₂)｜≥8．故在ξ₁与ξ₂中至少有一个使得在该点的二阶导数的绝对值不小于4，把该点取为ξ，就有ξ∈(0，1)使｜f″(ξ)｜≥4．

解析

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