设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第三列为 (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

admin2018-04-08 29

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx在正交变换x=Qy下的标准形为y₁²+y₂²，且Q的第三列为

(Ⅰ)求矩阵A；
(Ⅱ)证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

选项

答案(Ⅰ)由题意知Q^TAQ=Λ，其中 [*] 则A=QΛQ^T。设Q的其他任一列向量为(x₁，x₂，x₃)^T，因为Q为正交矩阵，所以 [*] 即x₁+x₃=0，其基础解系含两个线性无关的解向量，即为 α₁=(－1，0，1)^T，α₂=(0，1，0)^T，把α₁单位化 [*] (Ⅱ)证明：因为(A+E)^T=A^T+E=A+E，所以A+B为实对称矩阵，又因为A的特征值为1，1，0，所以A+E特征值为2，2，1，且都大于0，因此A+B为正定矩阵。

解析

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考研数学一

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设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第三列为 (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

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