2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第三列为 (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第三列为 (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

admin2018-04-08  59
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第三列为

    (Ⅰ)求矩阵A；
    (Ⅱ)证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。
选项
答案(Ⅰ)由题意知QTAQ=Λ，其中 [*] 则A=QΛQT。 设Q的其他任一列向量为(x1，x2，x3)T，因为Q为正交矩阵，所以 [*] 即x1+x3=0，其基础解系含两个线性无关的解向量，即为 α1=(－1，0，1)T，α2=(0，1，0)T， 把α1单位化 [*] (Ⅱ)证明：因为(A+E)T=AT+E=A+E，所以A+B为实对称矩阵，又因为A的特征值为1，1，0，所以A+E特征值为2，2，1，且都大于0，因此A+B为正定矩阵。
解析
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考研数学一

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