已知微分方程y’+y=f(x)，且f(x)是R上的连续函数． (I)当f(x)=x时，求微分方程的通解． (Ⅱ)当f(x)为周期为T的函数，证明：微分方程存在唯一以T为周期的解．

admin2018-03-26 49

问题已知微分方程y’+y=f(x)，且f(x)是R上的连续函数．
(I)当f(x)=x时，求微分方程的通解．
(Ⅱ)当f(x)为周期为T的函数，证明：微分方程存在唯一以T为周期的解．

选项

答案(I)通解y(x)=e^-∫1dx(∫xe^∫1dxdx+C)=e^-x(∫xe^xdx+C) =e^-x[(x一1)e^x+C] =(x一1)+Ce^-x． (Ⅱ)证明：设f(x+T)=f(x)，即T是f(x)的周期．通解y(x)=e^-∫1dx[∫f(x)e^∫1dxdx+C]=e^-x[∫f(x)e^xdx+C]=e^-x∫f(x)e^xdx+Ce^-x．设y(x)=e^-x∫_T^xf(x)e^xdx+Ce^-x，则有 y(x+T)=e^-(x+T)∫_T^x+Tf(t)e^tdt+Ce^-(x+T) [*]e^-(x+T)∫₀^xf(u+T)e^u+Td(u+T)+(Ce^-T).e^-x =e^-(x+T)∫₀^xf(u)e^u.e^Tdu+(Ce^-T).e^-x =e^-x∫₀^xf(u)e^udu+(Ce^-T).e^-x，即y(x+T)依旧是方程的通解，结论得证．

解析

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考研数学一

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已知微分方程y’+y=f(x)，且f(x)是R上的连续函数． (I)当f(x)=x时，求微分方程的通解． (Ⅱ)当f(x)为周期为T的函数，证明：微分方程存在唯一以T为周期的解．

考研数学一

设电子管寿命X的概率密度为若一台收音机上装有三个这种电子管，求：使用的最初150小时内，至少有两个电子管被烧坏的概率；

已知α1,α2……αs线性无关，β可由α1,α2……αs线性表出，且表示式的系数全不为零．证明：α1,α2……αs，β中任意s个向量线性无关．

设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数．记分块矩阵其中A*是矩阵A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA一α≠b．

设Am×n，r(A)=m，Bn×(n－m)，r(B)=n一m，且满足关系AB=O．证明：若η是齐次线性方程组AX=0的解，则必存在唯一的ξ，使得Bξ=η．

设A是m×n阶实矩阵，证明：(1)r(ATA)=r(A)；(2)ATX=ATb一定有解．

设函数f(x)在闭区间[0，1]上可微，对于[0，1]上的每一个x，函数f(x)的值都在开区间(0，1)内，且f’(x)≠1，证明：在(0，1)区间内有且仅有一个x，使得f(x)=x．

当x＞0时，曲线y=

曲线Γ：处的切线方程是＿＿＿＿＿＿＿＿。

设函数u(x，y)具有连续的一阶导数，1为自点O(0，0)沿曲线γ=sinx至点A(π，0)的有向弧段，求下面曲线积分：∫l=(yu(x，y)+xyu’(x，y)+y+xsinx)dx+(xu(x，y)+xyu’y(x，y)+ey2一x)dy。

设Y服从(0，3)上的均匀分布，X与Y相互独立，则行列式的概率为________．

关于X线影像信息的传递及影像形成的叙述，错误的是

属于项目式组织结构优点的是()。

采用直接输入原始凭证由会计核算软件自动生成记账凭证的，在生成正式机内记账凭证前，应当进行审核确认。()

尽管有些企业实施工资分配当地化,但它们仍保留国内外派人员原来享受的工资以外的福利待遇。()

通过各种通信方式，不通过集中的交易所，实行分散的、一对一交易的金融衍生工具属于()。

下列关于纳税人以特殊方式销售货物的税务处理的叙述，正确的有(　　)。

下列国家中，尚未加入欧元区的是()。

香烟点燃后，所产生的能减低红血球将氧输送到全身的成分是：

财政收入是指国家对集中起来的财政资金进行分配的整个过程。()

Thejournalist,unfortunately,______alongtimetosendtheseimportantfactstotheeditor.

已知微分方程y’+y=f(x)，且f(x)是R上的连续函数． (I)当f(x)=x时，求微分方程的通解． (Ⅱ)当f(x)为周期为T的函数，证明：微分方程存在唯一以T为周期的解．

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已知α1,α2……αs线性无关，β可由α1,α2……αs线性表出，且表示式的系数全不为零．证明：α1,α2……αs，β中任意s个向量线性无关．

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设Am×n，r(A)=m，Bn×(n－m)，r(B)=n一m，且满足关系AB=O．证明：若η是齐次线性方程组AX=0的解，则必存在唯一的ξ，使得Bξ=η．

设A是m×n阶实矩阵，证明：(1)r(ATA)=r(A)；(2)ATX=ATb一定有解．

设函数f(x)在闭区间[0，1]上可微，对于[0，1]上的每一个x，函数f(x)的值都在开区间(0，1)内，且f’(x)≠1，证明：在(0，1)区间内有且仅有一个x，使得f(x)=x．

当x＞0时，曲线y=

曲线Γ：处的切线方程是＿＿＿＿＿＿＿＿。

设函数u(x，y)具有连续的一阶导数，1为自点O(0，0)沿曲线γ=sinx至点A(π，0)的有向弧段，求下面曲线积分：∫l=(yu(x，y)+xyu’(x，y)+y+xsinx)dx+(xu(x，y)+xyu’y(x，y)+ey2一x)dy。

设Y服从(0，3)上的均匀分布，X与Y相互独立，则行列式的概率为________．

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