某市江滨有一处边长为50米的等边三角形广场。广场里设计有三个大小相等的圆环鹅卵石道路供市民散步,如图所示,各圆相切,各圆与三角形也相切,问沿三个圆环外围石道(不含圆切点之间的弧)散步一圈约为多少米?

admin2022-03-24  44

问题 某市江滨有一处边长为50米的等边三角形广场。广场里设计有三个大小相等的圆环鹅卵石道路供市民散步,如图所示,各圆相切,各圆与三角形也相切,问沿三个圆环外围石道(不含圆切点之间的弧)散步一圈约为多少米?

选项 A、95
B、105
C、115
D、125

答案B

解析 第一步,本题考查几何计算。第二步,如下图。

连接三个内切圆的圆心,可知为等边三角形,三个圆之间的弧心角都为60°,可知三个圆之间的弧长各自占三个小圆周长的1/6,剩余部分占三个小圆周长的5/6,根据圆周长公式2πr,则三个圆外弧长石道为2πr×5/6×3=5πr,求出小圆半径即可。第三步,求小圆半径r。做辅助线BE垂直AC,则∠EBC=30°,小圆圆心O引垂线交BC于P,连接OB,则平分∠EBC,可得,∠OBC=15°,根据tan15°=OP/BP≈o.268,BP=25,可得OP=6.7,则三个圆外弧长石道为5πr≈5×3.14×6.7=105.19。因此,选择B选项。
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