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  3. [2013年] 设平面区域D由直线x=3y，y=3x及x+y=8围成，计算x2dx dy．

[2013年] 设平面区域D由直线x=3y，y=3x及x+y=8围成，计算x2dx dy．

admin2021-01-19  34
问题 [2013年]  设平面区域D由直线x=3y，y=3x及x+y=8围成，计算x2dx dy．
选项
答案绘出区域D的图形，需将D分块D=D1∪D2，用分块积分法求之．为此先求出直线的交点． [*] 如图1．5．1．9所示，由[*] 由[*] 将D分为D1与D2两部分： D1={(x，y)∣0≤x≤2，[*]≤y≤3x}， D2={(x，y)∣2≤x≤6，[*]≤y≤8一x}，其中点(2，6)与点(6，2)为直线的交点(见图1．5．1．9)，于是 I=[*]x2dxdy=[*]x2dxdy+[*]x2dxdy=I1+I2， 其中 I1=[*]x2dxdy=∫02x2dx∫x/33xdy=∫02x2(3x—[*])dx =3∫02x3dx—[*] I2=[*]x2dxdy=∫26x2dx∫x/38-xdy=∫26x2(8一x一[*])dx =8∫26x2dx一[*]=128． 故I=[*]x2dxdy=I1+I2=[*]+128=138[*].
解析
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考研数学二

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