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  3. 已知(x)=xe－x+e－2x，(x)=xe－x+xe－2x，(x)=xe－x+e－2x+xe－2x是某二阶线性常系数微分方程+py’+qy=f(x)的三个特解． (Ⅰ)求这个方程和它的通解； (Ⅱ)设y=y(x)是该方程满足)，(0)=0

已知(x)=xe－x+e－2x，(x)=xe－x+xe－2x，(x)=xe－x+e－2x+xe－2x是某二阶线性常系数微分方程+py’+qy=f(x)的三个特解． (Ⅰ)求这个方程和它的通解； (Ⅱ)设y=y(x)是该方程满足)，(0)=0

admin2021-11-12  14
问题 已知(x)=xe－x+e－2x，(x)=xe－x+xe－2x，(x)=xe－x+e－2x+xe－2x是某二阶线性常系数微分方程+py’+qy=f(x)的三个特解．
    (Ⅰ)求这个方程和它的通解；
    (Ⅱ)设y=y(x)是该方程满足)，(0)=0，y’ (0)=0的特解，求
选项
答案(Ⅰ)由线性方程解的叠加原理[*] y1(x)=y3*(x)－y2*(x)=e－2x，y2(x)=y3*(x)－y1*(x)=xe－2x均是相应的齐次方程的解，它们是线性无关的．于是该齐次方程的特征根是重特征根λ=－2，相应的特征方程为 (λ+2)2=0，即λ2+4λ+4=0， 原方程为 y"+4y’+4y=f(x)． (*) 又y*(x)=xe－x是它的特解，求导得 y*’(x)=e－x(1－x)， y*"(x)=e－x(x－2)． 代入方程(*)得 e－x(x－2)+4e－x(1－x)+4xe－x=f(x) [*]f(x)=(x+2)e－x [*]所求方程为y"+4y’+4y=(x+2)e－x，其通解为 y=C1e－2x+C2xe－2x+xe－x，其中C1，C2为[*]常数． (Ⅱ)[*]C1，C2，方程的任意解y(x)均有 [*] 不必由初值来定C1，C2，直接将方程两边积分得 [*]
解析
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考研数学一

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