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  3. 设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．

设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．

admin2021-02-25  106
问题 设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．
选项
答案必要性．若BTAB为正定矩阵，则对任意的实n维列向量x≠0，有 xT(BTAB)x＞0， 即 (Bx)TA(Bx)＞0． 又A为正定矩阵，于是Bx≠0．因此齐次线性方程组Bx=0仅有零解，从而r(B)=n． 充分性．因(BTAB)T=BTATB=BTAB，故BTAB为对称矩阵．若r(B)=n，则齐次线性方程组Bx=0仅有零解．因此，对任意的n维实列向量x≠0，必有Bx≠0． 由已知，A为正定矩阵，故对Bx≠0，有 (Bx)TA(Bx)＞0， xT(BTAB)x＞0， 故BTAB为正定矩阵．
解析 本题主要考查实对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件，齐次线性方程组仅有零解的判别．注意运用齐次线性方程组Bx=0只有零解充分必要条件是，则有Bx≠0，这是证题的关键．
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考研数学二

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