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(1)设f(x)在[a,b]上非负连续且不恒为零,证明必有 ∫abf(x)dx>0; (2)是否存在[0,2]上的可导函数f(x),满足 f(0)=f(2)=1,|f’(x)|≤1,|∫02f(x)dx|≤1, 并说明理由.
(1)设f(x)在[a,b]上非负连续且不恒为零,证明必有 ∫abf(x)dx>0; (2)是否存在[0,2]上的可导函数f(x),满足 f(0)=f(2)=1,|f’(x)|≤1,|∫02f(x)dx|≤1, 并说明理由.
admin
2018-09-25
41
问题
(1)设f(x)在[a,b]上非负连续且不恒为零,证明必有
∫
a
b
f(x)dx>0;
(2)是否存在[0,2]上的可导函数f(x),满足
f(0)=f(2)=1,|f’(x)|≤1,|∫
0
2
f(x)dx|≤1,
并说明理由.
选项
答案
由题意f(x)≥0,x∈[a,b],存在x
0
∈[a,b],使f(x
0
)≠0,从而f(x
0
)>0,又 由连续性可得,[*]=f(x
0
)>0=>存在δ>0与η>0,当0<|x-x
0
|<δ时,恒有 f(x)>η>0. 于是 ∫
a
b
f(x)dx≥∫
x
0
-δ
x
0
+δ
f(x)dx≥∫
x
0
-δ
x
0
+δ
ηdx=η.2δ>0. (2)设[0,2]上存在连续可微的函数f(x)满足题设条件,则在[0,1]上,对任意x∈(0,1],存在ξ
1
∈(0,x),由拉格朗日中值定理得f(x)-f(x)=f’(ξ
1
)(x-0),即f(x)=1+f’(ξ
1
)x. 利用|f’(x)|≤1得1-x≤f(x)(x∈(0,1]). 由题设f(0)=1知,这一不等式成立范围可扩大为x∈[0,1]. 同样,在[1,2]上,对任意x∈[1,2),存在ξ
2
∈(x,2),由拉格朗日中值定理得 f(x)-f(2)=f’(ξ
2
)(x-2), 即f(x)=1+f’(ξ
2
)(x-2),利用|f’(x)|≤1得 1+(x-2)≤f(x), 即x-1≤f(x)(x∈[1,2)). 由题设f(2)=1知这一不等式成立范围可扩大为z∈[1,2]. ∫
0
2
f(x)dx=∫
0
1
f(x)dx+∫
1
2
f(x)dx >∫
0
1
(1-x)dx+∫
1
2
(x-1)dx [*] 这与f(x)所满足的|∫
0
2
f(x)dx|≤1矛盾,故不存在这样的f(x).
解析
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0
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