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  3. 若A是n阶正定矩阵，证明A-1A*也是正定矩阵．

若A是n阶正定矩阵，证明A-1A*也是正定矩阵．

admin2018-06-27  33
问题 若A是n阶正定矩阵，证明A-1A*也是正定矩阵．
选项
答案因A正定，所以AT=A．那么(A-1)T=(AT)-1=A-1，即A-1是实对称矩阵． 设A的特征值是λ1，λ2，…，λn，那么A-1的特征值是[*]，由A正定知λi＞0(i=1，2，…，n)．因此A-1的特征值[*]＞0(i=1，2，…，n)．从而A-1正定． A*=｜A｜A-1，｜A｜＞0，则A*也是实对称矩阵，并且特征值为 [*] 都大于0．从而A*正定．
解析
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考研数学二

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