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  3. 设f(x)在[a，b]上可导，且f’＋(a)＞0，f’－(b)＜0，证明方程f’(x)＝0在(a，b)内至少有一个根．

设f(x)在[a，b]上可导，且f’＋(a)＞0，f’－(b)＜0，证明方程f’(x)＝0在(a，b)内至少有一个根．

admin2019-08-27  29
问题 设f(x)在[a，b]上可导，且f’＋(a)＞0，f’－(b)＜0，证明方程f’(x)＝0在(a，b)内至少有一个根．
选项
答案由[*]，可知存在x0＞0，使a＋x0∈(a，b)且f(a＋x0)＞f(a)． 同理，由[*]，可知存在x1＜0，使f(b＋x1)－f(b)＞0， 即有b＋x1∈(a，b)，使f(b＋x1)＞f(b)． 而由f(x)在[a，b]上可导，则f(x)必连续． 由闭区间上连续函数的性质，知f(x)在[a，b]上必有最大点ξ，又由以上证明知ξ≠a和ξ≠b，因ξ必是f(x)的极值点，故有f’(ξ)＝0．
解析 【思路探索】由题设条件找到函数f(x)在[a，b]上的最值点即可得结论．
【错例分析】此题若利用f’＋(a)＞0和f’－(b)＜0以及连续函数的介值定理，即得：存在ξ∈(a，b)，使f’(ξ)＝0．这是错误的做法．因已知条件中仅告知f(x)的导函数f’(x)存在，并未告知导函数f’(x)是连续的．此题的正确做法就是利用f(x)在区间内的最值点存在．
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考研数学一

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