设常数函数f(x)=ex－ax2，证明方程f(x)=0在区间(0，+∞)内有且仅有两个实根。

admin2019-07-19 108

问题设常数

函数f(x)=e^x－ax²，证明方程f(x)=0在区间(0，+∞)内有且仅有两个实根。

选项

答案在区间(0，+∞)内f(x)=e^x－ax²=0，其等价于[*]可讨论φ(x)=0在(0，+∞)内的实根个数。由于 [*] 令φ’(x)=0，得驻点x=2，列表如下： [*] 则当x=2时，φ(x)取得极小值[*]已知[*]因此φ(2)＜0。显然[*]所以φ(x)=0在(0，2)和(2，+∞)上分别有且仅有一个实根，因此φ(x)在(0，+∞)内有且仅有两个实根，即f(x)在(0，+∞)上有且仅有两个实根。

解析

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考研数学一

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