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  3. 设线性方程组(1)Ax=0的一个基础解系为α1=(1，1，1，0，2)T，α2=(1，1，0，1，1)T，α3=(1，0，1，1，2)T。线性方程组(2)Bx=0的一个基础解系为β1=(1，1，-1，-1，1)T，β2=(1，-1，1，-1，2)T，β3=

设线性方程组(1)Ax=0的一个基础解系为α1=(1，1，1，0，2)T，α2=(1，1，0，1，1)T，α3=(1，0，1，1，2)T。线性方程组(2)Bx=0的一个基础解系为β1=(1，1，-1，-1，1)T，β2=(1，-1，1，-1，2)T，β3=

admin2017-01-14  39
问题 设线性方程组(1)Ax=0的一个基础解系为α1=(1，1，1，0，2)T，α2=(1，1，0，1，1)T，α3=(1，0，1，1，2)T。线性方程组(2)Bx=0的一个基础解系为β1=(1，1，-1，-1，1)T，β2=(1，-1，1，-1，2)T，β3=(1，-1，-1，1，1)T。求
(Ⅰ)线性方程组(3)的通解；
(Ⅱ)矩阵C=(AT，BT)的秩。
选项
答案(Ⅰ)线性方程组(1)Ax=0的通解为x=k1α1+k2α2+k3α3；线性方程组(2)Bx=0的通解为x=l1β1+l2β2+l3β3；线性方程组(3)[*]的解是方程组(1)和(2)的公共解，故考虑线性方程组(4)k1α1+k2α2+k3α3=l1β1+l2β2+l3β3，将其系数矩阵作初等行变换，即 [*] 则方程组(4)的一个基础解系是(-2，0，2，-1，0，1)T。将其代入(4)得到方程组(3)的一个基础 解系ξ=-2α1+2α2=-β1+β3=(0，-2，0，2，0)T。所以方程组(3)的通解为 x=K(0，-1，0，1，0)T，其中K为任意常数。 (Ⅱ)线性方程组(3)[*]与线性方程组xT(AT，BT)=0等价，而方程组(3)的基础解系只含一个向量，故矩阵C=(AT，BT)的秩r(C)=5-1=4。
解析
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考研数学一

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