设矩阵A=。当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得P－1AP为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵。

admin2018-02-07 69

问题设矩阵A=

。当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得P^－1AP为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵。

选项

答案矩阵A的特征多项式为｜λE—A｜=[*]=(λ+1)²(λ一1)，则A的特征值为λ₁=λ₂=一1，λ₃=1。矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是属于特征值λ=一1的线性无关的特征向量有两个，即线性方程组(一E—A)x=0有两个线性无关的解向量，则r(A+E)=1。对矩阵A+E作初等行变换得 [*] 当k=0时，r(A+E)=1。此时，由(一E一A)x=0解得属于特征值一1的两个线性无关的特征向量为α₁=(一1，2，0)^T，α₂=(1，0，2)^T；由(E—A)x=0解得属于特征值1的特征向量为α₃=(1，0，1)^T。令可逆矩阵P=(α₁，α₂，α₃)，则P^－1AP=[*]。

解析

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考研数学二

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设矩阵A=。当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得P－1AP为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵。

考研数学二

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