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  3. 设A，B为3阶相似非零矩阵，矩阵A=(aij)满足aij=Aij(i，j=1，2，3)，Aij为aij的代数余子式，矩阵B满足｜E+2B｜=｜E+3B｜=0，行列式｜AB-A*+B-E｜=______．

设A，B为3阶相似非零矩阵，矩阵A=(aij)满足aij=Aij(i，j=1，2，3)，Aij为aij的代数余子式，矩阵B满足｜E+2B｜=｜E+3B｜=0，行列式｜AB-A*+B-E｜=______．

admin2017-05-18  32
问题 设A，B为3阶相似非零矩阵，矩阵A=(aij)满足aij=Aij(i，j=1，2，3)，Aij为aij的代数余子式，矩阵B满足｜E+2B｜=｜E+3B｜=0，行列式｜AB-A*+B-E｜=______．
选项
答案[*]
解析 ｜A*B-A*+B-E｜=｜A*(B-E)+(B-E)｜
    =｜(A*+E)(B-E)｜=｜A*+E｜.｜B-E｜
    由aij=Aij(i，j=1，2，3)可知，AT=A*，于是
    AAT=AA*=｜A｜E ｜AAT｜=A｜3｜A｜=｜A｜3｜A｜=0或｜A｜=1．
    因为A≠0，不妨假定aij≠0，所以
    ｜A｜=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132≠0，
故｜A｜=1．
    又由题设可知，A，B相似，所以A，B有相同的特征值，且｜B｜=｜A｜=1．
由｜E+2B｜=｜E+3B｜=0可知，B有特征值λ1=，设另外一个特征值为λ3，则有λ1λ2λ3=所以A，B的特征值为λ1=，λ3=6．
于是｜A*+E｜=｜AT+E｜=｜A+E｜=(λ1+1)(λ2+1)(λ3+1)=
｜B-E｜=(λ1-1)(λ2-1)(λ3-1)==10．
故｜A*B-A*+B-E｜=｜A*+E｜.｜B-E｜=
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考研数学一

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