2006盏亮着的电灯，各有一个开关控制，按顺序编号为1，2,…，2006。将编号为2的倍数的灯的开关各按一下，再将编号为3的倍数的灯的开关各按一下，最后将编号为5的倍数的灯的开关各按一下。按完后亮着的灯有多少盏？

admin2018-11-25 25

问题 2006盏亮着的电灯，各有一个开关控制，按顺序编号为1，2,…，2006。将编号为2的倍数的灯的开关各按一下，再将编号为3的倍数的灯的开关各按一下，最后将编号为5的倍数的灯的开关各按一下。按完后亮着的灯有多少盏？

选项 A、1000
B、1002
C、1004
D、1006

答案C

解析因为灯在开始的时候是亮着的，所以按过两次或者没按过的灯最后还是亮的。本题实际上是求1到2006中不能被2、3、5整除的数和只能同时被2、3、5中两个数整除的数的总个数。
能被2整除的有2006÷2=1003盏，
能被3整除的数有2006÷3=668……2，共668盏，
能被5整除的数有2006÷5=401……1，共401盏；
其中，同时被2、3整除的数有2006÷(2×3)=334……2,共334盏，
同时被3、5整除的数有2006÷(3×5)=133……11，共133盏，
同时被2、5整除的数有2006÷(2×5)=200……6,共200盏，
同时被2、3、5整除的数有2006+(2×3×5)=66……26,共66盏，所以，只能同时被2、3、5中两个数整除的有334+133+200－3x66=469盏；
不能被2、3、5整除的有2006－[(1003+668+401)－(334+133+200)+66]=535盏。
故最后亮着的灯有469+535=1004盏。

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