设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若 Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαn－1=αn，Aαn=0．证明：α1，α2，…，αn线性无关；

admin2018-05-21 57

问题设A是n阶矩阵，α₁，α₂，…，α_n是n维列向量，且α_n≠0，若
Aα₁=α₂，Aα₂=α₃，…，Aα_n－1=α_n，Aα_n=0．
证明：α₁，α₂，…，α_n线性无关；

选项

答案令x₁α₁+x₂α₂+…+x_nα_n=0，则 x₁Aα₁+x₂Aα₂+…+x_nAα_n=0[*]x₁α₂+x₂α₃+…+x_n－1α_n=0 …x₁Aα₂+x₂Aα₃+…+x_n－1Aα_n=0[*]x₁α₃+x₂α₄+…+x_n－2α_n=0 x₁α_n=0 因为α_n≠0，所以x₁=0，反推可得x₂=…=x_n=0，所以α₁，α₂，…，_n线性无关．

解析

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考研数学一

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设0≤a＜b，f(x)在[a，b]上连续，(a，b)内可导，证明：在(a，b)内存在三点x1，x2，x3使
设α，β均为n维非零列向量，且αtβ≠o．设矩阵A=αβT一E，且满足方程A2一3A=4E，则αT2=________．
设u=u(x，y，z)具有二阶连续的偏导数，且满足=x2+y2+z2，又设S为曲面：x2+y2+z2=2az(a＞0)，取外侧，则
设L是不经过点(2，0)，(一2，0)的分段光滑的简单闭曲线，试就L的不同情况计算曲线积分：L取正向．
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设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(一1，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解．(I)求A的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A．
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