2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，证明： (Ⅰ)r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量α，β，使得A=αβT； (Ⅱ)r(A)=1且tr(A)≠0，证明A可相似对角化．

设A是n阶矩阵，证明： (Ⅰ)r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量α，β，使得A=αβT； (Ⅱ)r(A)=1且tr(A)≠0，证明A可相似对角化．

admin2017-12-18  59
问题 设A是n阶矩阵，证明：
(Ⅰ)r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量α，β，使得A=αβT；
(Ⅱ)r(A)=1且tr(A)≠0，证明A可相似对角化．
选项
答案(Ⅰ)若r(A)=1，则A为非零矩阵且A的任意两行成比例，即 [*] 反之，若A=αβT，其中α，β都是n维非零列向量，则r(A)=r(αβT)≤r(α)=1，又因为α，β为非零列向量，所以A为非零矩阵，从而r(A)≥1，于是r(A)=1． (Ⅱ)因为r(A)=1，所以存在非零列向量α，β，使得A=αβT，显然tr(A)=(α，β)，因为tr(A)≠0，所以(α，β)=k≠0． 令AX=λX，因为A2=kA，所以λ2X=kλX，或(λ2－kλ)X=0，注意到X≠0，所以矩阵A的特征值为λ=0或λ=k． 因为λ1+λ2+…+λn=tr(A)=k，所以λ1=k，λ2=λ3=…=λn=0，由r(0E－A)=r(A)=1，得A一定可以对角化．
解析
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考研数学二

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