设A为m×n阶实矩阵，且r(A)=n,证明：ATA的特征值全大于零。

admin2019-09-29 74

问题设A为m×n阶实矩阵，且r(A)=n,证明：A^TA的特征值全大于零。

选项

答案首先A^TA为实对称矩阵，r(A^TA)=n,对任意的X≠0， X^T(A^TA)X=(AX)^T(AX),令AX=a,因为r(A)=n,所以a≠0,所以（AX)^T(AX)=a^Ta=∣a∣²＞0,即二次型X^T(A^TA)X是正定二次型，A^TA为正定矩阵，所以A^TA的特征值全大于零。

解析

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考研数学二

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