求下列曲面积分 I=(x2－y2)dydz+(y2－z2)dzdx+(z2－x2)dxdy，S是=1(z≥0)的上侧．

admin2018-06-15 51

问题求下列曲面积分
I=

(x²－y²)dydz+(y²－z²)dzdx+(z²－x²)dxdy，S是

=1(z≥0)的上侧．

选项

答案用高斯公式来计算．曲面不封闭，添加辅助面。 S₁：z=0，[*]≤1，取下侧．S与S₁围成Ω． (Ⅰ)记I₁=[*]Pdydz+Qdzdx+Rdxdy，因为S₁与yz平面及zx平面垂直，且S₁上z=0，所以 [*] =a³b∫₀^π／2sin²2tdt=a³b／2sin²tdt=a³b／4π． (Ⅱ)在Ω上用高斯公式．注意Ω关于yz平面与zx平面对称， [*] (Ⅱ)I=1／2πabc²－I₁=1／2πabc²－[*]πa³b=1／4πab(2c²－a²)．

解析

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考研数学一

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设函数f(x)在(a，b)内存在二阶导数，且f’’(x)＜0．试证：若x0∈(a，b)，则对于(a，b)内的任何x，有f(x0)≥f(x)-f’(x0)(x-x0)，当且仅当x=x0时等号成立；
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已知曲线，其中函数f(t)具有连续导数，且f(0)=0，f’(t)＞0(0＜t＜)．若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1，求函数f(t)的表达式，并求以曲线L及x轴和y轴为边界的区域的面积．
设y=y(x)可导，y(0)=2，令△y=y(x+△x)一y(x)，且△y=△x+α，其中α是当△x→0时的无穷小量，则y(x)=___________．
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