设函数f(x)在[0,x]上连续,且.试证:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1和ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0.

admin2015-09-10  30

问题 设函数f(x)在[0,x]上连续,且.试证:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1和ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0.

选项

答案令[*],则F(0)=F(π)=0 又[*] 所以存在ξ∈(0,π),使F(ξ)sinξ=0,因若不然,则在(0,π)内或F(x)sinx恒为正,或F(x)sinx恒为负,均与[*]矛盾.但当ξ∈(0,π)时,sinξ≠0,故F(ξ)=0. 由此证得F(0)=F(ξ)=F(π)=0 (0<ξ<π) 再对F(x)在[0,ξ]和[ξ,π]上分别应用罗尔中值定理,知至少存在ξ1∈(0,ξ),ξ2∈(ξ,π),使 F’(ξ1)=F’(ξ2)=0 即 f(ξ1)=f(ξ2)=0

解析
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