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设函数f(x)在[0,x]上连续,且.试证:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1和ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0.
设函数f(x)在[0,x]上连续,且.试证:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1和ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0.
admin
2015-09-10
47
问题
设函数f(x)在[0,x]上连续,且
.试证:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ
1
和ξ
2
,使f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0.
选项
答案
令[*],则F(0)=F(π)=0 又[*] 所以存在ξ∈(0,π),使F(ξ)sinξ=0,因若不然,则在(0,π)内或F(x)sinx恒为正,或F(x)sinx恒为负,均与[*]矛盾.但当ξ∈(0,π)时,sinξ≠0,故F(ξ)=0. 由此证得F(0)=F(ξ)=F(π)=0 (0<ξ<π) 再对F(x)在[0,ξ]和[ξ,π]上分别应用罗尔中值定理,知至少存在ξ
1
∈(0,ξ),ξ
2
∈(ξ,π),使 F’(ξ
1
)=F’(ξ
2
)=0 即 f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/rLw4777K
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考研数学一
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