已知3阶矩阵A的特征值为1，2，﹣3，则｜A*＋3A＋2E｜＝__________．

admin2020-06-05 44

问题已知3阶矩阵A的特征值为1，2，﹣3，则｜A^*＋3A＋2E｜＝__________．

选项

答案25

解析方法一因为矩阵A的特征值为1，2，﹣ 3，所以｜A｜＝﹣ 6，A^*＝｜A｜ A^﹣1＝﹣ 6A^﹣1，
记φ(A)＝A^*＋3A＋2E＝﹣ 6A^﹣1＋3A＋2E，则
φ(λ)＝﹣ 6λ^＋＋3λ＋2＝

＋3λ＋2
于是3阶矩阵φ(A)有特征值
φ(1)＝﹣6＋3＋2＝﹣1，φ(2)＝﹣3＋6＋2＝5，φ(﹣3)＝2－9＋2＝﹣5
所求行列式
｜φ(A)｜＝φ(1)φ(2)φ(﹣3)＝25
所以｜A^*＋3A＋2E｜＝﹣25
方法二取A＝diag(1，2，﹣3)，则A^*＝-6diag(1，1/2，﹣1/2)＝diag(﹣6，﹣3，2)，进而A^*＋3A＋2E＝diag(﹣6＋3×1＋2，﹣3＋3×2＋2，2＋3×(﹣3)＋2)＝diag(﹣1，5，﹣5)
因此
｜A^*＋3A＋2E｜＝(﹣1)×5×(﹣5)＝25

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考研数学一

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设f(x，y，z)=x2-y2+2z2，则div(gradf)=_______．

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