设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+222+(-232)+2bx32 (b＞0)，其中二次矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12． (Ⅰ)求a，b的值； (Ⅱ)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换

admin2013-08-30 102

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX=ax₁²+2₂²+(-2₃²)+2bx₃² (b＞0)，其中二次矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．
(Ⅰ)求a，b的值；
(Ⅱ)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换对应的正交矩阵．

选项

答案(Ⅰ)由题设，二次型f相应的矩阵为A=[*] 设A的3个特征值为λ₁，λ₂，λ₃，则由已知条件知λ₁+λ₂+λ₃=1，λ₁λ₂λ₃=-12；利用“矩阵特征值之和=矩阵主对角线元素之和”及“特征值之积=矩阵行列式”两个关系，得 [*]，可求出b=2，即a=1，b=2． (Ⅱ)由｜A-λE｜=0，即[*]，可求出A的特征值为 λ₁=λ₂=2，λ₃=-3．不难求得对应于λ₁=λ₂=2的特征向量为ξ₁=[*] 对应于λ₃=-3的特征向量为ξ₃=[*]，对λ₁，λ₂，λ₃正交规范化，得 [*] 令矩阵P=(ξ₁，ξ₂，ξ₃)=[*] 则P为正交矩阵，在正交变换x=Py下，其中y=[*] 因此二次型的标准形为2y₁²+2y₂²-3y₃²．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/sD54777K

考研数学一

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+222+(-232)+2bx32 (b＞0)，其中二次矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12． (Ⅰ)求a，b的值； (Ⅱ)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换

考研数学一

(2014年)设f(χ)是周期为4的可导奇函数，且f′(χ)＝2(χ－1)，χ∈[0，2]，则f(7)＝_______．

已知A是3阶实对称矩阵，α1=(1，-1，-1)T，α2=(-2，1，0)T是齐次线性方程组Ax=0的解，又(A-6E)α=0，α≠0．求(A-3E)6．

设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=ax21+2x22-2x23+2bx1x3(b＞0)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．

设A为n阶矩阵，α为n维列向量，若存在正整数m，使得Am-1α≠0，Amα=0(规定A0为单位矩阵)，证明向量组α，Aα，…，Am-1α线性无关．

设f(x)，g(x)在区间[-a，a](a＞0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件f(x)+f(-x)=A(A为常数)证明

设函数f(x)处处可导，且(k＞0为常数)，又设x0为任意一点，数列{xn}满足xn=f(xn-1)(n=1，2，…)，试证：当n→∞时，数列{xn}的极限存在．

将下列曲线化为参数方程：

设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66．5分，标准差为15分，问在显著性水平α=0．05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程．

Youcannotimaginehow________Ifeelwithmydutiessometimes.

水肿

在输注血小板时，下列哪一种做法是错误的

若考生李斌虚报材料，骗取报名资格，参加保险公估从业人员资格考试，则(　　)内李斌不得参加资格考试。

对不正当竞争行为进行监督检查的监督检查机关的职权包括()。

调节国际收支不平衡的主要对策有()。

差别感觉阈限与原刺激量的比值是一个常数，公式为()。(I为原刺激，△I为差别感觉阈限，K为常数)

长江流域，无疑也是民族文化的之一。考古，旧石器时代处于长江上游今云南境内的元谋人，与黄河流域今陕西境内的蓝田人。这个结论具有划时代的意义。依次填入画横线部分最恰当的一项是()。

有下面程序代码：PrivateSubCommand1_Click()DimaAsIntegerFork=1To3x=fun(A)NextkPrintx,aEndS

设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+222+(-232)+2bx32 (b＞0)，其中二次矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12． (Ⅰ)求a，b的值； (Ⅱ)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换

考研数学一

(2014年)设f(χ)是周期为4的可导奇函数，且f′(χ)＝2(χ－1)，χ∈[0，2]，则f(7)＝_______．

已知A是3阶实对称矩阵，α1=(1，-1，-1)T，α2=(-2，1，0)T是齐次线性方程组Ax=0的解，又(A-6E)α=0，α≠0．求(A-3E)6．

设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=ax21+2x22-2x23+2bx1x3(b＞0)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．

设A为n阶矩阵，α为n维列向量，若存在正整数m，使得Am-1α≠0，Amα=0(规定A0为单位矩阵)，证明向量组α，Aα，…，Am-1α线性无关．

设f(x)，g(x)在区间[-a，a](a＞0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件f(x)+f(-x)=A(A为常数)证明

设函数f(x)处处可导，且(k＞0为常数)，又设x0为任意一点，数列{xn}满足xn=f(xn-1)(n=1，2，…)，试证：当n→∞时，数列{xn}的极限存在．

将下列曲线化为参数方程：

设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66．5分，标准差为15分，问在显著性水平α=0．05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程．

Youcannotimaginehow________Ifeelwithmydutiessometimes.

水肿

在输注血小板时，下列哪一种做法是错误的

若考生李斌虚报材料，骗取报名资格，参加保险公估从业人员资格考试，则( )内李斌不得参加资格考试。

对不正当竞争行为进行监督检查的监督检查机关的职权包括()。

调节国际收支不平衡的主要对策有()。

差别感觉阈限与原刺激量的比值是一个常数，公式为()。(I为原刺激，△I为差别感觉阈限，K为常数)

长江流域，无疑也是民族文化的________之一。考古________，旧石器时代处于长江上游今云南境内的元谋人，与黄河流域今陕西境内的蓝田人________。这个结论具有划时代的意义。依次填入画横线部分最恰当的一项是()。

有下面程序代码：PrivateSubCommand1_Click()DimaAsIntegerFork=1To3x=fun(A)NextkPrintx,aEndS

若考生李斌虚报材料，骗取报名资格，参加保险公估从业人员资格考试，则(　　)内李斌不得参加资格考试。

长江流域，无疑也是民族文化的之一。考古，旧石器时代处于长江上游今云南境内的元谋人，与黄河流域今陕西境内的蓝田人。这个结论具有划时代的意义。依次填入画横线部分最恰当的一项是()。