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  3. (Ⅰ)验证函数y(x)=(一∞＜x＜+∞)满足微分方程y″+y′+y=ex： (Ⅱ)求幂级数y(x)=的和函数。

(Ⅰ)验证函数y(x)=(一∞＜x＜+∞)满足微分方程y″+y′+y=ex： (Ⅱ)求幂级数y(x)=的和函数。

admin2018-12-29  26
问题 (Ⅰ)验证函数y(x)=(一∞＜x＜+∞)满足微分方程y″+y′+y=ex：
(Ⅱ)求幂级数y(x)=的和函数。
选项
答案(Ⅰ)幂级数 [*] 的收敛域是R，因而可在R上逐项求导数，得 [*] 所以y″+y′+y=1+x+[*]+… =ex(一∞＜x＜+∞)。 (Ⅱ)与y″+y′+y=ex对应的齐次微分方程为y″+y′+y=0，其特征方程为λ2+λ+1=0，特征根为λ1、2=[*]，所以齐次微分方程的通解为y=[*]。 设非齐次微分方程的特解为y*=Aex,将y*代入方程y″+y′+y=ex可得[*]，因此，方程通解为 [*] 所以幂级数[*]的和函数为y(x)=[*]，一∞＜x＜+∞。
解析
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考研数学一

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