(2013年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝2(a1χ1＋a2χ2＋a3χ3)＋(b1χ1＋b2χ2＋b3χ3)2，记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT． (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为

admin2016-05-30 81

问题 (2013年)设二次型f(χ₁，χ₂，χ₃)＝2(a₁χ₁＋a₂χ₂＋a₃χ₃)＋(b₁χ₁＋b₂χ₂＋b₃χ₃)²，记

(Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2αα^T＋ββ^T．
(Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为

选项

答案[*] 又2αα^T＋ββ^T为对称矩阵，所以二次型f的矩阵为2αα^T＋ββ^T． (Ⅱ)记矩阵A＝2αα^T＋ββ^T．由于α，β正交且为单位向量，即α^Tα＝1，β^Tβ＝1，α^Tβ＝β^Tα＝0，所以 Aα＝(2αα^T＋ββ^T)α＝2α， Aβ＝(2αα^T＋ββ^T)β＝β，于是λ₁＝2，λ₂＝1是矩阵A的特征值．又 r(A)＝r(2αα^*＋ββ^*)≤r(2αα^*)＋r(ββ^*)≤2，所以λ₃＝0是矩阵A的特征值．由于f在正交变换下的标准形中各变量平方项的系数为A的特征值，故f在正交变换下的标准形为2y₁²＋y₂²．

解析

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考研数学二

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(2013年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝2(a1χ1＋a2χ2＋a3χ3)＋(b1χ1＋b2χ2＋b3χ3)2，记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT． (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为

考研数学二

下列矩阵中属干正定矩阵的是

函数y=Cx+(其中C为任意常数)对微分方程而言()．

计算，其中r=(x-x0)i+(y-y0)j+(z-z0)k，r=｜r｜，n是曲面∑的外法向量，点M0(x0，y0，z0)是定点，点M(x，y，z)是动点，研究以下两种情况：(1)点M0(x0，y0，z0)在的∑外部；(2)点M0(x0，y0，z0)在

设有密度为u=1的均匀正方体V：0≤x≤a，0≤y≤a，0≤z≤a，设直线L过坐标原点且方向向量s的方向余弦为cosα，cosβ，cosγ，求V对L的转动惯量，并求当{cosα，cosβ，cosγ}满足什么条件时，此转动惯量有最大、最小值．

设数列{an)满足a1=a2=1，且an+1=an+an-1，n=2，3，…．证明当｜x｜＜1/2时，级数anxn-1收敛，并求其和函数及系数an．

设a=2i-j+k，b=i+3j-k，试在a，b所确定的平面内，求一个与a垂直的单位向量．

设随机变量X的密度函数为f(x)，且f(x)为偶函数，X的分布函数为F(x)，则对任意实数a，有().

已知=∫0+∞4x2e-2xdx，求常数a的值。

设A=E-ξξT，其中层为n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：当ξTξ=1时，A是不可逆矩阵．

设A=E-ξξT，其中层为n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：A2=A的充要条件是ξTξ=1；

Thetwopartieshaven’treachedanyagreement,butdecidedtosetanotherdatefor______talks.

______whenthephonerang.

______isknowntotheworld,MarkTwainisagreatAmericanwriter.

如下哪项是糖尿病目前死亡的主要原因

张某因盗窃被判处有期徒刑5年，在交付执行前，突患严重疾病，需保外就医。有权决定张某暂予监外执行的是哪一个机关？

甲、乙听说丙家里富裕，密谋绑架丙索要一笔钱，于某晚潜入丙下榻的宾馆，将其绑走并拘禁于甲的家里，天亮后才发现绑架的是丁，翻遍丁身上只得300元钱，恼羞成怒，殴打丁致死。下列哪项是正确的?()

当重复保险发生保险事故，按照各保险人在无他保的情况下独立应负的赔款责任比例来分摊损失的方法，称作(　　)。

下列属于市场风险的有()。

微软公司开发的下列操作系统中，属于嵌入式操作系统的是()。

有以下函数过程：FunctionGys(ByValxAsInteger，ByValyAsInteger)AsIntegerDoWhiley＜＞0Reminder=

(2013年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝2(a1χ1＋a2χ2＋a3χ3)＋(b1χ1＋b2χ2＋b3χ3)2，记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT． (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为

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函数y=Cx+(其中C为任意常数)对微分方程而言()．

计算，其中r=(x-x0)i+(y-y0)j+(z-z0)k，r=｜r｜，n是曲面∑的外法向量，点M0(x0，y0，z0)是定点，点M(x，y，z)是动点，研究以下两种情况：(1)点M0(x0，y0，z0)在的∑外部；(2)点M0(x0，y0，z0)在

设有密度为u=1的均匀正方体V：0≤x≤a，0≤y≤a，0≤z≤a，设直线L过坐标原点且方向向量s的方向余弦为cosα，cosβ，cosγ，求V对L的转动惯量，并求当{cosα，cosβ，cosγ}满足什么条件时，此转动惯量有最大、最小值．

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设a=2i-j+k，b=i+3j-k，试在a，b所确定的平面内，求一个与a垂直的单位向量．

设随机变量X的密度函数为f(x)，且f(x)为偶函数，X的分布函数为F(x)，则对任意实数a，有().

已知=∫0+∞4x2e-2xdx，求常数a的值。

设A=E-ξξT，其中层为n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：当ξTξ=1时，A是不可逆矩阵．

设A=E-ξξT，其中层为n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：A2=A的充要条件是ξTξ=1；

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______whenthephonerang.

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如下哪项是糖尿病目前死亡的主要原因

张某因盗窃被判处有期徒刑5年，在交付执行前，突患严重疾病，需保外就医。有权决定张某暂予监外执行的是哪一个机关？

甲、乙听说丙家里富裕，密谋绑架丙索要一笔钱，于某晚潜入丙下榻的宾馆，将其绑走并拘禁于甲的家里，天亮后才发现绑架的是丁，翻遍丁身上只得300元钱，恼羞成怒，殴打丁致死。下列哪项是正确的?()

当重复保险发生保险事故，按照各保险人在无他保的情况下独立应负的赔款责任比例来分摊损失的方法，称作( )。

下列属于市场风险的有()。

微软公司开发的下列操作系统中，属于嵌入式操作系统的是()。

有以下函数过程：FunctionGys(ByValxAsInteger，ByValyAsInteger)AsIntegerDoWhiley＜＞0Reminder=

当重复保险发生保险事故，按照各保险人在无他保的情况下独立应负的赔款责任比例来分摊损失的方法，称作(　　)。