(2013年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝2(a1χ1＋a2χ2＋a3χ3)＋(b1χ1＋b2χ2＋b3χ3)2，记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT． (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为

admin2016-05-30 61

问题 (2013年)设二次型f(χ₁，χ₂，χ₃)＝2(a₁χ₁＋a₂χ₂＋a₃χ₃)＋(b₁χ₁＋b₂χ₂＋b₃χ₃)²，记

(Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2αα^T＋ββ^T．
(Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为

选项

答案[*] 又2αα^T＋ββ^T为对称矩阵，所以二次型f的矩阵为2αα^T＋ββ^T． (Ⅱ)记矩阵A＝2αα^T＋ββ^T．由于α，β正交且为单位向量，即α^Tα＝1，β^Tβ＝1，α^Tβ＝β^Tα＝0，所以 Aα＝(2αα^T＋ββ^T)α＝2α， Aβ＝(2αα^T＋ββ^T)β＝β，于是λ₁＝2，λ₂＝1是矩阵A的特征值．又 r(A)＝r(2αα^*＋ββ^*)≤r(2αα^*)＋r(ββ^*)≤2，所以λ₃＝0是矩阵A的特征值．由于f在正交变换下的标准形中各变量平方项的系数为A的特征值，故f在正交变换下的标准形为2y₁²＋y₂²．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/t734777K

考研数学二

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

(2013年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝2(a1χ1＋a2χ2＋a3χ3)＋(b1χ1＋b2χ2＋b3χ3)2，记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT． (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为

考研数学二

对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)=E(X).E(Y)，则()．

设f(x)在(-∞，+∞)内有定义，且对任意x∈(-∞，+∞)，y∈(-∞，+∞)，满足f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，f’(0)=a≠0．证明：对任意x∈(-∞，+∞)，f’(x)存在，并求f(x)．

以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的微分方程是________．

设y1(x)，y2(x)为二阶齐次线性微分方程y”+P(x)y’+q(x)y=0的两个特解，y1≠0，y2≠0，则y=c1y1(x)+c2y2(x)(其中c1，c2为任意常数)为该方程通解的充要条件为()．

计算，其中r=(x-x0)i+(y-y0)j+(z-z0)k，r=｜r｜，n是曲面∑的外法向量，点M0(x0，y0，z0)是定点，点M(x，y，z)是动点，研究以下两种情况：(1)点M0(x0，y0，z0)在的∑外部；(2)点M0(x0，y0，z0)在

函数f，g的二阶偏导数均存在，z=f[xy，lnx+g(xy)]，求的值．

计算曲面积分I=(2x+z)dydz+zdxdy，其中∑为有向曲面z=x2+y2(0≤z≤1)，并且其法向量与z轴正向夹角为锐角．

若在x=1处连续，求a的值。

设A是n(n>1)阶矩阵，满足Ak=2E(k>2，k∈Z+)，则(A+)k=()．

下列关于血管性出血性疾病的描述，正确的是

A．squamouscarcinomaB．ADenocareinomaC．alveolarcellcarcinomaD．smallcelllungcarcinomaE．Largecelllungcarcinoma病理分型属于腺

除了慢性进行性膀胱炎症状外，诊断泌尿系结核的根据是

以下哪项为瓜藤缠的主要发病特点：

下列不是深反射检查的是

比表面积表示堆密度表示

保险经纪机构向中国保监会申请换发许可证，应当提交申请前(　　)的资产负债表和利润表。

近年来，很多人才涌往北京、上海、广州等大城市，但却有一些大城市的白领在逃出去，你怎么看?

A、Becauseitneedsgovernment’ssupport.B、Becauseit’shardtoacquirethetechnology.C、Becauseit’snoteasytomakeaprofit

(2013年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝2(a1χ1＋a2χ2＋a3χ3)＋(b1χ1＋b2χ2＋b3χ3)2，记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT． (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为

考研数学二

对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)=E(X).E(Y)，则()．

设f(x)在(-∞，+∞)内有定义，且对任意x∈(-∞，+∞)，y∈(-∞，+∞)，满足f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，f’(0)=a≠0．证明：对任意x∈(-∞，+∞)，f’(x)存在，并求f(x)．

以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的微分方程是________．

设y1(x)，y2(x)为二阶齐次线性微分方程y”+P(x)y’+q(x)y=0的两个特解，y1≠0，y2≠0，则y=c1y1(x)+c2y2(x)(其中c1，c2为任意常数)为该方程通解的充要条件为()．

计算，其中r=(x-x0)i+(y-y0)j+(z-z0)k，r=｜r｜，n是曲面∑的外法向量，点M0(x0，y0，z0)是定点，点M(x，y，z)是动点，研究以下两种情况：(1)点M0(x0，y0，z0)在的∑外部；(2)点M0(x0，y0，z0)在

函数f，g的二阶偏导数均存在，z=f[xy，lnx+g(xy)]，求的值．

计算曲面积分I=(2x+z)dydz+zdxdy，其中∑为有向曲面z=x2+y2(0≤z≤1)，并且其法向量与z轴正向夹角为锐角．

若在x=1处连续，求a的值。

设A是n(n>1)阶矩阵，满足Ak=2E(k>2，k∈Z+)，则(A+)k=()．

下列关于血管性出血性疾病的描述，正确的是

A．squamouscarcinomaB．ADenocareinomaC．alveolarcellcarcinomaD．smallcelllungcarcinomaE．Largecelllungcarcinoma病理分型属于腺

除了慢性进行性膀胱炎症状外，诊断泌尿系结核的根据是

以下哪项为瓜藤缠的主要发病特点：

下列不是深反射检查的是

比表面积表示堆密度表示

保险经纪机构向中国保监会申请换发许可证，应当提交申请前( )的资产负债表和利润表。

近年来，很多人才涌往北京、上海、广州等大城市，但却有一些大城市的白领在逃出去，你怎么看?

A、Becauseitneedsgovernment’ssupport.B、Becauseit’shardtoacquirethetechnology.C、Becauseit’snoteasytomakeaprofit

保险经纪机构向中国保监会申请换发许可证，应当提交申请前(　　)的资产负债表和利润表。