(2013年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝2(a1χ1＋a2χ2＋a3χ3)＋(b1χ1＋b2χ2＋b3χ3)2，记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT． (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为

admin2016-05-30 107

问题 (2013年)设二次型f(χ₁，χ₂，χ₃)＝2(a₁χ₁＋a₂χ₂＋a₃χ₃)＋(b₁χ₁＋b₂χ₂＋b₃χ₃)²，记

(Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2αα^T＋ββ^T．
(Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为

选项

答案[*] 又2αα^T＋ββ^T为对称矩阵，所以二次型f的矩阵为2αα^T＋ββ^T． (Ⅱ)记矩阵A＝2αα^T＋ββ^T．由于α，β正交且为单位向量，即α^Tα＝1，β^Tβ＝1，α^Tβ＝β^Tα＝0，所以 Aα＝(2αα^T＋ββ^T)α＝2α， Aβ＝(2αα^T＋ββ^T)β＝β，于是λ₁＝2，λ₂＝1是矩阵A的特征值．又 r(A)＝r(2αα^*＋ββ^*)≤r(2αα^*)＋r(ββ^*)≤2，所以λ₃＝0是矩阵A的特征值．由于f在正交变换下的标准形中各变量平方项的系数为A的特征值，故f在正交变换下的标准形为2y₁²＋y₂²．

解析

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考研数学二

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(2013年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝2(a1χ1＋a2χ2＋a3χ3)＋(b1χ1＋b2χ2＋b3χ3)2，记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT． (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为

考研数学二

对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)=E(X).E(Y)，则()．

设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导．(Ⅰ)若f(x)=0,f(x)＜0，f’+(a)＞0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)f"(ξ)+f’2(ξ)=0．(Ⅱ)若f(a)=f(b)=∫0bf(x)dx=0，证明：存在η∈(a，b)，使

已知α1=(1,2,3)T,α2=(－2,1,－1)T和β1=(4,－2,α)T，β2=(7,b,4)T是等价向量组，则参数a,b应分别为()。

设f(x)在(-∞，+∞)内有定义，且对任意x∈(-∞，+∞)，y∈(-∞，+∞)，满足f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，f’(0)=a≠0．证明：对任意x∈(-∞，+∞)，f’(x)存在，并求f(x)．

设微分方程+p(x)y=f(x)有两个特解，则该微分方程的通解为________．

求常数项级数的和：

设a=2i-j+k，b=i+3j-k，试在a，b所确定的平面内，求一个与a垂直的单位向量．

若在x=1处连续，求a的值。

设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=0，已知A的秩r(A)=2．求A的全部特征值；

所反映的对象不是一个集合体的概念称为()。

患者，25岁，农民。面色苍白，疲乏无力1年。血常规检查RBC2．0×1012／L，Hb50g／L，喊7．6×109／L，中性粒细胞0．50，淋巴细胞0．26，嗜酸性粒细胞0．14，SF：10μg／L，血片中成熟红细胞中央淡染区扩大，拟诊为缺铁性贫血。根

某分部分项工程的清单编码为010302006004，则该分部分项工程的清单项目顺序编码为()。

市场监管部的主要职责包括(　　)。

下列选项中，属于妻子一方的财产的是()。

关于急性短暂性精神障碍，正确的说法包括()。

实施综合实践活动的关键是倡导学生对课题的自主选择和主动实践。()

WhenyouwatchafootballgameonaSaturdayafternoon,youfeelsecureinyourknowledgeofwhatwillhappenwhenaplayerboot

Large,multinationalcorporationsmaybethecompanieswhoseupsanddownsseizeheadlines.Buttoafargreaterextentthanmo

(2013年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝2(a1χ1＋a2χ2＋a3χ3)＋(b1χ1＋b2χ2＋b3χ3)2，记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT． (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为

考研数学二

对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)=E(X).E(Y)，则()．

设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导．(Ⅰ)若f(x)=0,f(x)＜0，f’+(a)＞0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)f"(ξ)+f’2(ξ)=0．(Ⅱ)若f(a)=f(b)=∫0bf(x)dx=0，证明：存在η∈(a，b)，使

已知α1=(1,2,3)T,α2=(－2,1,－1)T和β1=(4,－2,α)T，β2=(7,b,4)T是等价向量组，则参数a,b应分别为()。

设f(x)在(-∞，+∞)内有定义，且对任意x∈(-∞，+∞)，y∈(-∞，+∞)，满足f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，f’(0)=a≠0．证明：对任意x∈(-∞，+∞)，f’(x)存在，并求f(x)．

设微分方程+p(x)y=f(x)有两个特解，则该微分方程的通解为________．

求常数项级数的和：

设a=2i-j+k，b=i+3j-k，试在a，b所确定的平面内，求一个与a垂直的单位向量．

若在x=1处连续，求a的值。

设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=0，已知A的秩r(A)=2．求A的全部特征值；

所反映的对象不是一个集合体的概念称为()。

患者，25岁，农民。面色苍白，疲乏无力1年。血常规检查RBC2．0×1012／L，Hb50g／L，喊7．6×109／L，中性粒细胞0．50，淋巴细胞0．26，嗜酸性粒细胞0．14，SF：10μg／L，血片中成熟红细胞中央淡染区扩大，拟诊为缺铁性贫血。根

某分部分项工程的清单编码为010302006004，则该分部分项工程的清单项目顺序编码为()。

市场监管部的主要职责包括( )。

下列选项中，属于妻子一方的财产的是()。

关于急性短暂性精神障碍，正确的说法包括()。

实施综合实践活动的关键是倡导学生对课题的自主选择和主动实践。()

WhenyouwatchafootballgameonaSaturdayafternoon,youfeelsecureinyourknowledgeofwhatwillhappenwhenaplayerboot

Large,multinationalcorporationsmaybethecompanieswhoseupsanddownsseizeheadlines.Buttoafargreaterextentthanmo

市场监管部的主要职责包括(　　)。