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(2013年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝2(a1χ1＋a2χ2＋a3χ3)＋(b1χ1＋b2χ2＋b3χ3)2，记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT． (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为
(2013年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝2(a1χ1＋a2χ2＋a3χ3)＋(b1χ1＋b2χ2＋b3χ3)2，记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT． (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为
admin
2016-05-30
46
问题
(2013年)设二次型f(χ
1
，χ
2
，χ
3
)＝2(a
1
χ
1
＋a
2
χ
2
＋a
3
χ
3
)＋(b
1
χ
1
＋b
2
χ
2
＋b
3
χ
3
)
2
，记
(Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2αα
T
＋ββ
T
．
(Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为
选项
答案
[*] 又2αα
T
＋ββ
T
为对称矩阵，所以二次型f的矩阵为2αα
T
＋ββ
T
． (Ⅱ)记矩阵A＝2αα
T
＋ββ
T
．由于α，β正交且为单位向量，即α
T
α＝1，β
T
β＝1，α
T
β＝β
T
α＝0，所以 Aα＝(2αα
T
＋ββ
T
)α＝2α， Aβ＝(2αα
T
＋ββ
T
)β＝β， 于是λ
1
＝2，λ
2
＝1是矩阵A的特征值．又 r(A)＝r(2αα
*
＋ββ
*
)≤r(2αα
*
)＋r(ββ
*
)≤2， 所以λ
3
＝0是矩阵A的特征值．由于f在正交变换下的标准形中各变量平方项的系数为A的特征值，故f在正交变换下的标准形为2y
1
2
＋y
2
2
．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/t734777K
0
考研数学二
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