(2013年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝2(a1χ1＋a2χ2＋a3χ3)＋(b1χ1＋b2χ2＋b3χ3)2，记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT． (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为

admin2016-05-30 90

问题 (2013年)设二次型f(χ₁，χ₂，χ₃)＝2(a₁χ₁＋a₂χ₂＋a₃χ₃)＋(b₁χ₁＋b₂χ₂＋b₃χ₃)²，记

(Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2αα^T＋ββ^T．
(Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为

选项

答案[*] 又2αα^T＋ββ^T为对称矩阵，所以二次型f的矩阵为2αα^T＋ββ^T． (Ⅱ)记矩阵A＝2αα^T＋ββ^T．由于α，β正交且为单位向量，即α^Tα＝1，β^Tβ＝1，α^Tβ＝β^Tα＝0，所以 Aα＝(2αα^T＋ββ^T)α＝2α， Aβ＝(2αα^T＋ββ^T)β＝β，于是λ₁＝2，λ₂＝1是矩阵A的特征值．又 r(A)＝r(2αα^*＋ββ^*)≤r(2αα^*)＋r(ββ^*)≤2，所以λ₃＝0是矩阵A的特征值．由于f在正交变换下的标准形中各变量平方项的系数为A的特征值，故f在正交变换下的标准形为2y₁²＋y₂²．

解析

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考研数学二

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(2013年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝2(a1χ1＋a2χ2＋a3χ3)＋(b1χ1＋b2χ2＋b3χ3)2，记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT． (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为

考研数学二

已知α1=(1,2,3)T,α2=(－2,1,－1)T和β1=(4,－2,α)T，β2=(7,b,4)T是等价向量组，则参数a,b应分别为()。

A为四阶方阵，方程组AX=0的通解为x=k1(1，0，1，0)T+k2(0，0，0，1)T，A的伴随矩阵为A，则秩(A)*=()．

已知三阶矩阵，记它的伴随矩阵为A*，则三阶行列式________．

求常数项级数的和：

设数列{an)满足a1=a2=1，且an+1=an+an-1，n=2，3，…．证明当｜x｜＜1/2时，级数anxn-1收敛，并求其和函数及系数an．

设a=2i-j+k，b=i+3j-k，试在a，b所确定的平面内，求一个与a垂直的单位向量．

设函数f(x)在(-∞，+∞)内具有一阶连续导数，L是上半平面(y＞0)内的有向光滑曲线，其起点为点(a，b)，终点为点(c，d)，记当ab=cd时，求I的值．

已知=∫0+∞4x2e-2xdx，求常数a的值。

设为连续函数，试确定a和b的值。

设A为n阶可逆矩阵，则下列结论正确的是()．

在图I一15中，导体各截面上的电流强度与电流密度是否一样?若不一样，何处最大?何处最小?

女性，34岁，发热、头痛、腰痛4天，尿少1天，查体面红，球结膜水肿，皮肤有搔抓出血，血常规WBC15乘以十的九次方/L，血小板85乘以十的九次方/L，尿蛋白++。患者居住环境差。

A．水杨酸B．秋水仙碱C．塞来昔布D．布洛芬E．萘丁美酮在体内R型异构体可转化为S型异构体的是

A．培氟沙星B．氟西汀C．培高利特D．替加色罗E．头孢哌酮以上药物不宜与糖皮质激素联用的药物是()。

根据我国《合同法》的规定，涉外合同诉讼时效期间为()年。

下列各项，构成企业留存收益的有()。

在填写调查表时应注意的问题不包括()。

春秋时期，反对公布成文法的是()

萨姆买不起他极想要的那种照相机，因为那相机太贵了。

CourseName：ADBackup/RestoreandDisasterRecoveryPreparedby：SamuelBristolTitle：ProgramManagerCourseDescript

(2013年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝2(a1χ1＋a2χ2＋a3χ3)＋(b1χ1＋b2χ2＋b3χ3)2，记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT． (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为

考研数学二

已知α1=(1,2,3)T,α2=(－2,1,－1)T和β1=(4,－2,α)T，β2=(7,b,4)T是等价向量组，则参数a,b应分别为()。

A为四阶方阵，方程组AX=0的通解为x=k1(1，0，1，0)T+k2(0，0，0，1)T，A的伴随矩阵为A*，则秩(A*)*=()．

已知三阶矩阵，记它的伴随矩阵为A*，则三阶行列式________．

求常数项级数的和：

设数列{an)满足a1=a2=1，且an+1=an+an-1，n=2，3，…．证明当｜x｜＜1/2时，级数anxn-1收敛，并求其和函数及系数an．

设a=2i-j+k，b=i+3j-k，试在a，b所确定的平面内，求一个与a垂直的单位向量．

设函数f(x)在(-∞，+∞)内具有一阶连续导数，L是上半平面(y＞0)内的有向光滑曲线，其起点为点(a，b)，终点为点(c，d)，记当ab=cd时，求I的值．

已知=∫0+∞4x2e-2xdx，求常数a的值。

设为连续函数，试确定a和b的值。

设A为n阶可逆矩阵，则下列结论正确的是()．

在图I一15中，导体各截面上的电流强度与电流密度是否一样?若不一样，何处最大?何处最小?

女性，34岁，发热、头痛、腰痛4天，尿少1天，查体面红，球结膜水肿，皮肤有搔抓出血，血常规WBC15乘以十的九次方/L，血小板85乘以十的九次方/L，尿蛋白++。患者居住环境差。

A．水杨酸B．秋水仙碱C．塞来昔布D．布洛芬E．萘丁美酮在体内R型异构体可转化为S型异构体的是

A．培氟沙星B．氟西汀C．培高利特D．替加色罗E．头孢哌酮以上药物不宜与糖皮质激素联用的药物是()。

根据我国《合同法》的规定，涉外合同诉讼时效期间为()年。

下列各项，构成企业留存收益的有()。

在填写调查表时应注意的问题不包括()。

春秋时期，反对公布成文法的是()

萨姆买不起他极想要的那种照相机，因为那相机太贵了。

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A为四阶方阵，方程组AX=0的通解为x=k1(1，0，1，0)T+k2(0，0，0，1)T，A的伴随矩阵为A，则秩(A)*=()．